中小学教育资源及组卷应用平台 第七讲 直线与平面垂直的判定 一、选择题 1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是( ) A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥α C．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α 【解析】 由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确． 【答案】 D 2．如图2 3 6，三棱锥P ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，则直线PB和平面ABC所成的角是( ) 图2 3 6 A．∠BPA B．∠PBA C．∠PBC D．以上都不对 【解析】 由PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B， 得PA⊥平面ABC， 所以∠PBA为BP与平面ABC所成的角．故选B. 【答案】 B 3．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( ) A．有且只有一个 B．至多一个 C．有一个或无数个 D．不存在 【解析】 若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在． 【答案】 B 4．在正方体ABCD A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 【解析】 如图所示，连接BD交AC于点O，连接D1O，由于BB1∥DD1， ∴DD1与平面ACD1所成的角就是 BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝，D1O＝，21世纪教育网版权所有 ∴cos ∠DD1O＝＝＝. ∴BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为. 【答案】 D 5．正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是( )21教育网 A．线段B1C B．线段BC1 C．BB1中点与CC1中点连成的线段 D．BC中点与B1C1中点连成的线段 【答案】 A [如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于B1C上．] 二、填空题 6．如图2 3 7，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是_____. 图2 3 7 【解析】 ∵EA⊥α，CD α， 根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA. 同样，∵EB⊥β，CD β，则有EB⊥CD. 又EA∩EB＝E， ∴CD⊥平面AEB. 又∵AB 平面AEB，∴CD⊥AB. 【答案】 CD⊥AB 7．如图2 3 8所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有_____． 图2 3 8 【解析】 BC⊥平面PAC BC⊥PC， ∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC. 【答案】 4 三、解答题 8．如图2 3 9，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE. 图2 3 9 【证明】 ∵AD⊥平面ABE，AD∥BC， ∴BC⊥平面ABE. 又AE 平面ABE，∴AE⊥BC. ∵BF⊥平面ACE，AE 平面ACE，∴AE⊥BF. 又∵BF 平面BCE，BC 平面BCE，BF∩BC＝B， ∴AE⊥平面BCE. 又BE 平面BCE，∴AE⊥BE. 9．如图2 3 10所示，三棱锥A SBC中 ，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．21cnjy.com 图2 3 10 【解】 因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC， 所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC. 如图所示，取BC的中点D， 连接AD，SD，则AD⊥BC. 设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝a，CD＝SD＝a. 在Rt△ADC中，AD＝＝a. 则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD. 又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC. 因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角． 在Rt△ASD中，SD＝AD＝a， 所以∠ASD＝45°， 即直线AS与平面SBC所成的角为45°. [能力提升] 10．如图2 3 11，四棱锥S ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有_____个．21·cn·jy·com 图2 3 11 ①AC⊥SB； ②AB∥平面SCD； ③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD； ④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角． 【解析】 因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD. 因为ABCD是正方形， 所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D， 所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确． 因为AB∥CD，AB 平面SCD，CD 平面SCD， 所以AB∥平面SCD，故②正确． 因为AD是SA在平面ABCD内的射影， 所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD.故 ... ...
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