中小学教育资源及组卷应用平台 第九讲 直线与平面和平面与平面垂直的性质 一、选择题 1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( ) A．相交 B．异面 C．平行 D．不确定 【解析】 因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A， 所以l⊥平面ABC. 同理可证m⊥平面ABC， 所以l∥m，故选C. 【答案】 C 2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( ) A．若α⊥β，m α，n β，则m⊥n B．若α∥β，m α，n β，则m∥n C．若m⊥n，m α，n β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β 【解析】 A中，m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中，m，n可能为异面直线；C中，m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．21教育网 【答案】 D 3．已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是( ) A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β B．若α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β C．若α⊥β，l α，则l⊥β D．若α⊥β，α∩β＝m，l α，l⊥m，则l⊥β 【解析】 选项A缺少了条件l α；选 出卷网项B缺少了条件α⊥β；选项C缺少了条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．故选D.21cnjy.com 【答案】 D 4．在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1( ) A．平行 B．共面 C．垂直 D．不垂直 【解析】 如图所示，在四边形ABCD中， ∵AB＝BC，AD＝CD.∴BD 出卷网⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD 平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1 平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C. 【答案】 C 5．如图2 3 41所示，三棱 出卷网锥P ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是( )21世纪教育网版权所有 图2 3 41 A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点 【解析】 ∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC 平面PAC，∴AC⊥平面PBC.【来源：21·世纪·教育·网】 又∵BC 平面PBC，∴AC⊥BC. ∴∠ACB＝90°. ∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点． 【答案】 D 二、填空题 6．如图2 3 42，在三 出卷网棱锥P ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则＝_____.21·世纪*教育网 图2 3 42 【解析】 在三棱锥P ABC中， 因为PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC. 因为EF 平面PAC，所以EF⊥AB， 因为EF⊥BC，BC∩AB＝B， 所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF， 因为F是AC的中点，E是PC上的点， 所以E是PC的中点，所以＝1. 【答案】 1 7．在三棱锥P ABC中，平面PA 出卷网C⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为_____．21·cn·jy·com 【解析】 连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC， 可得PC⊥CM，所以PM＝，要求PM的最 出卷网小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时，CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2. 【答案】 2 三、解答题 8．如图2 3 43，三棱 出卷网锥P ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC. 2-1-c-n-j-y 图2 3 43 【证明】 ∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC， ∴PA⊥平面ABC.又BC 平面ABC， ∴PA⊥BC. 又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB 平面PAB， PA 平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC 平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC. 9．如图2 3 44，四棱锥P 出卷网 ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD. 图 ... ...
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