1.3.2 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积 学案（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 柱体、锥体、台体、球的体积与球的表面积 【学习目标】 1.掌握柱体、锥体、台体的体积公式，会利用它们求有关几何体的体积. 2.了解球的表面积与体积公式，并能应用它们求球的表面积及体积. 3.会求简单组合体的体积及表面积． 知识点一　柱体、锥体、台体的体积公式 1．柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 2．锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)； 3．台体的体积公式V＝(S′＋＋S)h(S′、S为上、下底面面积，h为高)； 4．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh. 知识点二　球的表面积和体积公式 1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)； 2．球的体积公式V＝πR3. 类型一　柱体、锥体、台体的体积 例1　(1)如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1－ABC1的体积为(　　)21世纪教育网版权所有 A. B. C. D. 答案　A 解析　三棱锥B1－ABC1的体积等于三棱锥A－B1BC1的体积，三棱锥A－B1BC1的高为，底面积为，故其体积为××＝. (2)现有一个底面直径为20 出卷网cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的圆锥形铅锤，铅锤完全浸没在水中．当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降(　　) A．0.6 cm B．0.15 cm C．1.2 cm D．0.3 cm 答案　A 解析　设杯里的水下降h cm，由题意知π()2h＝×20×π×32，解得h＝0.6 cm. 反思与感悟　(1)常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解． ②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可． ③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． (2)求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．【来源：21·世纪·教育·网】 跟踪训练1　(1)如图所示，在长 出卷网方体ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．21cnjy.com 解　设AB＝a，AD＝b，AA′＝c， ∴VC－A′D′D＝CD·S△A′D′D＝a·bc＝abc， ∴剩余部分的体积为VABCD－A′B′C′D′－VC－A′D′D＝abc－abc＝abc， ∴棱锥C－A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5. (2)已知一个三棱台上、下底面分别是边长为 出卷网20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和体积． 解　如图，在三棱台ABC－A′B′C 出卷网′中，取上、下底面的中心分别为O′，O，BC，B′C′的中点分别为D，D′，则DD′是梯形BCC′B′的高．21·世纪*教育网 所以S侧＝3××(20＋30)×DD′＝75DD′. 又因为A′B′＝20 cm，AB＝30 cm，则上、下底面面积之和为S上＋S下＝×(202＋302)＝325(cm2)． 由S侧＝S上＋S下，得75DD′＝325， 所以DD′＝(cm)，O′D′＝×20＝(cm)， OD＝×30＝5(cm)， 所以棱台的高h＝O′O＝ ＝＝4(cm)． 由棱台的体积公式，可得棱台的体积为 V＝(S上＋S下＋)＝×(×202＋×302＋×20×30)＝1 900(cm3)． 类型二　球的表面积与体积 例2　(1)求球与它的外切等边圆锥(轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥)的体积之比． 解　如图等边△ABC为圆锥的轴截面，截球面得圆O. 设球的半径OE＝R， OA＝＝2OE＝2R， ∴AD＝OA＋OD＝2R＋R＝3R， BD＝AD·tan 30°＝R， ∴V球＝πR3， V圆锥＝π·BD2×AD＝π(R)2×3R＝3πR3， 则V球∶V圆锥＝4∶9. (2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　) A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa2 答案　B 解析　长方体的体对角线是其外接球的直径，由长方体的体对角线 ... ...