2.3.2 平面与平面垂直的判定 学案（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 平面与平面垂直的判定 【学习目标】 1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角. 2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角. 3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直． 知识点一　二面角 思考1　观察教室内门与墙面 ，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状．数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？2·1·c·n·j·y 答案　二面角． 思考2　平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？ 答案　二面角的平面角． 梳理　二面角的概念 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． (2)相关概念：①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面． (3)画法： 　　　　　 (4)记法：二面角α－l－β或α－AB－β或P－l－Q或P－AB－Q. (5)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA α，OB β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB. 知识点二　平面与平面垂直 思考　建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成 “铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直．当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？21·世纪*教育网 答案　都是垂直． 梳理　两面垂直的定义及判定 (1)平面与平面垂直 ①定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． ②画法： ③记作：α⊥β. (2)判定定理 文字语言 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 图形语言 符号语言 l⊥α，l β α⊥β 类型一　证明面面垂直 例1　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，PA⊥平面ABCD，M是PD的中点．21世纪教育网版权所有 (1)求证：OM∥平面PAB； (2)求证：平面PBD⊥平面PAC. 证明　(1)在△PBD中，O，M分别是BD，PD的中点， 所以OM∥PB， 因为OM 平面PAB，PB 平面PAB， 所以OM∥平面PAB. (2)因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD， 所以PA⊥BD. 因为底面ABCD是菱形， 所以AC⊥BD.又因为AC 平面PAC，PA 平面PAC，AC∩PA＝A， 所以BD⊥平面PAC.又因为BD 平面PBD， 所以平面PBD⊥平面PAC. 引申探究 如图，本例中若底面ABCD改为正方形，另增加条件：PA＝AD，其他条件不变．试证明： (1)AM⊥平面PCD； (2)平面ACM⊥平面PCD. 证明　(1)∵PA＝AD，M是PD的中点，∴AM⊥PD. ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DC，又由于AD⊥DC，PA∩AD＝A， ∴DC⊥平面PAD，∴DC⊥AM. 又PD∩DC＝D，∴AM⊥平面PCD. (2)由(1)知AM⊥平面PCD， ∵AM 平面ACM， ∴平面ACM⊥平面PCD. 反思与感悟　应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤 跟踪训练1　如图，三棱柱ABC－A1 B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝AA1，D是棱AA1的中点．证明：平面BDC1⊥平面BDC.21教育网 证明　由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1. 又DC1 平面ACC1A1， 所以DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1＝∠ADC ＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1 平面BDC1，所以平面BDC1⊥平面BDC.21·cn·jy·com 类型二　求二面角的大小 例2　如图，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的余弦值． 解　如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD. 由二面角的定义可知∠AMB为二面角A－CD－B的平面角． 设点H是△BCD的中心，则AH⊥平面BCD，且点H在BM上． 在Rt△AMH中，AM＝×2＝，HM＝×2×＝，则cos∠AMB＝＝， 即二面角的余弦值为. 反思与感悟　(1)求二面角大小的步骤 简称为“一作二证三求”． ①(定义法)：在二面角的棱上找一个特殊点，在 ... ...