第六讲 立体图形的计算 在小学阶段,我们除了学习平面图形外,还认识了一些简单的立体图形,如长方体、正方体(立方体)、直圆柱体,直圆锥体、球体等,并且知道了它们的体积、表面积的计算公式,归纳如下.见下图. 在数学竞赛中,有许多几何趣题,解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计,把形象思维和抽象思维结合起来. 例1 下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的,求它的表面积。 分析与解答 求这个长方体的表面积,如果一面一面地去数,把结果累计相加可以得到答案,但方法太繁.如果仔细观察,会发现这个立体的上下、左右、前后面的面积分别相等.因此列式为: (9+8+7)×2=48(平方厘米). 答:它的表面积是48平方厘米. 例2 一个圆柱体底面周长和高相等.如果高缩短了2厘米,表面积就减少12.56平方厘米.求这个圆柱体的表面积。 分析 一个圆柱体底面周长和高相等,说明圆柱体侧面展开是一个正方形.解题的关键在于求出底周长.根据条件:高缩短2厘米,表面积就减少12.56平方厘米,用上图表示,从图中不难看出阴影部分就是圆柱体表面积减少部分,值是12.56平方厘米,所以底面周长C=12.56÷2=6.28(厘米).这个问题解决了,其它问题也就迎刃而解了。 解:底面周长(也是圆柱体的高): 12.56÷2=6.28(厘米). 侧面积: 6.28×6.28=39.4384(平方厘米) 两个底面积(取π=3.14): 3.14××2=6.28(平方厘米) 表面积: 39.4384+6.28=45.7184(平方厘米) 答:这个圆柱体的表面积是45.7184平方厘米. 例3 一个正方体形状的木块,棱长为1米.若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份,如下图,共得到大大小小的长方体60块,这60块长方体的表面积的和是多少平方米? 分析 如果将60个长方体逐个计算表面积是个很复杂的问题,更何况锯成的小木块长、宽、高都未知使得计算小长方体的表面积成为不可能的事.如果换一个角度考虑问题:每锯一次就得到两个新的切面,这两个面的面积都等于原正方体一个面的面积,也就是,每锯一次表面积增加1+1=2平方米,这样只要计算一下锯的总次数就可使问题得到解决。 解:原正方体表面积:1×1×6=6(平方米), 一共锯了多少次:(次数比分的段数少1) (3-1)+(4-1)+(5-1)=9(次), 表面积: 6+2×9=24(平方米). 答:60块长方体表面积的和是24平方米. 例4 一个酒精瓶,它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈),如下图.已知它的容积为26.4π立方厘米.当瓶子正放时,瓶内的酒精的液面高为6厘米;瓶子倒放时,空余部分的高为2厘米。问:瓶内酒精的体积是多少立方厘米?合多少升? 分析 由题意,液体的体积是不变的,瓶内空余部分的体积也是不变的,因此可知液体体积是空余部分体积的3倍(6÷2). 解:=62.172(立方厘米)(取=3.14) 62.172立方厘米=62.172毫升 =0.062172升. 答:酒精的体积是62.172立方厘米,合0.062172升. 例5 一个稻谷囤,上面是圆锥体,下面是圆柱体(如下图).圆柱的底面周长是9.42米,高2米,圆锥的高是0.6米.求这个粮囤的体积是多少立方米? 分析 按一般的计算方法,先分别求出锥、柱的体积再把它们合并在一起求出总体积。但我们仔细想一想,如果把圆锥形的稻谷铺平,把它变成圆圆柱体,这时圆锥的高等于×0.6=0.2(米),那么原来两个形体变成一个圆柱体,高是(2+0.2)米.这样求出变化后直圆柱的体积就可以了。 解:圆锥体化为圆柱体的高: 0.6×=0.2(米) 底面积: =7.065(平方米) 体积: 7.065×(2+0.2)=15.543(立方米). ... ...
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