北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科） 2013.1 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合，，则（ ） （A） （B） （C） （D） 2．在复平面内，复数的对应点位于（ ） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 3．在极坐标系中，已知点，则过点且平行于极轴的直线的方程是（ ） （A） （B） （C） （D） 4．执行如图所示的程序框图．若输出， 则框图中 ① 处可以填入（ ） （A） （B） （C） （D） 5．已知函数，其中为常数．那么“”是“为奇函数”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 6．已知是正数，且满足．那么的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D） 7．某四面体的三视图如图所示．该四面体的 六条棱的长度中，最大的是（ ） （A） （B） （C） （D） 8．将正整数随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ） （A） （B） （C） （D） 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 已知向量，，.若向量与向量共线，则实数 _____． 10．如图，△中，，， ．以为直径的圆交于点，则 ；_____． 11．设等比数列的各项均为正数，其前项和为．若，，，则_____． 12．已知椭圆 的两个焦点是，，点在该椭圆上．若，则△的面积是_____． 13．已知函数，其中．当时，的值域是_____；若的值域是，则的取值范围是_____． 14．已知函数的定义域为．若常数，对，有，则称函数具有性质．给定下列三个函数： ①； ②； ③． 其中，具有性质的函数的序号是_____． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 在△中，已知． （Ⅰ）求角的值； （Ⅱ）若，，求△的面积． 16．（本小题满分14分） 如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面， 为棱的中点． （Ⅰ）求证：// 平面； （Ⅱ）求证：平面平面； （Ⅲ）求二面角的余弦值． 17．（本小题满分13分） 生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于为正品，小于为次品．现随机抽取这两种元件各件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 元件A 元件B （Ⅰ）试分别估计元件A，元件B为正品的概率； （Ⅱ）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下， （ⅰ）记为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望； （ⅱ）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率． 18．（本小题满分13分） 已知函数，其中． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）设．若，使，求的取值范围． 19．（本小题满分14分） 如图，已知抛物线的焦点为．过点的直线交抛物线于， 两点，直线，分别与抛物线交于点，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值． 20．（本小题满分13分） 如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.记为所有这样的数表构成的集合． 对于，记为的第行各数之积，为的第列各数之积．令． （Ⅰ）请写出一个，使得； （Ⅱ）是否存在，使得？说明理由； （Ⅲ）给定正整数，对于所有的，求的取值集合． 北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末 高三数学（理科）参考答案及评分标准 2013.1 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．D； 2．B； 3．A； 4．C； 5．C； 6．B； 7．C； 8．B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．； 10．，； ... ...
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