北京市朝阳区2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学测试题（理工类） 2013.1 （考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数等于 A． B． C． D． 2.“”是“直线与圆 相交”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3.执行如图所示的程序框图．若输入，则输出的值是 A． B． C． D． 4.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为， 点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为，则 此双曲线的方程是 A． B． C． D． 5.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动， 若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有 A． 140种 B． 120种 C． 35种 D． 34种 6.已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所 示，则其侧视图的面积为 A． B． C． D． 7.设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 8. 在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是 A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为 . 10. 如图，，是半径为的圆的两条弦，它们相交于的中点. 若，，则= ， （用表示）. 11.若关于，的不等式组（是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则 . 12. 在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ． 13.在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则 ． 14. 将整数填入如图所示的行列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分） 已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递减区间； （Ⅱ）求函数在上的最小值. 16. （本小题满分14分） 在长方体中，，点在棱上，且． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点，使∥平面？ 若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）若二面角的余弦值为，求棱的 长． 17. （本小题满分13分） 某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 组别 分组 频数 频率 第1组 [50，60） 8 0.16 第2组 [60，70） a ▓ 第3组 [70，80） 20 0.40 第4组 [80，90） ▓ 0.08 第5组 [90，100] 2 b 合计 ▓ ▓ （Ⅰ）写出的值； （Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的2名同学来自同一组的概率； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设表示所抽取的2名同学中来自第5组的人数，求的分布列及其数学期望. 18. （本小题满分13分） 已知函数． （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围． 19.（本小题满分14分） 已知点是椭圆的左顶点，直线与椭圆相交于两点，与轴相交于点.且当时，△的面积为. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过点？并请说明理由. 20. （本小题满分13分） 将正整数 ... ...
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