【对点解密变式练】必考点07 空间点、直线、平面之间的位置关系及平行关系的判定与性质 学案（学生版+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 必考点07 空间点、直线、平面之间的位置关系及平行关系的判定与性质 题型一 直线与平面平行的判定与性质 例题1如图，在四棱锥E ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，CD＝2AB＝2CE＝4，点F为棱DE的中点． 证明：AF∥平面BCE. 【证明】法一：如图，取CE的中点M，连接FM，BM. 因为点F为棱DE的中点， 所以FM∥CD且FM＝CD＝2， 因为AB∥CD，且AB＝2， 所以FM∥AB且FM＝AB， 所以四边形ABMF为平行四边形， 所以AF∥BM， 因为AF 平面BCE，BM 平面BCE， 所以AF∥平面BCE. 法二：如图，在平面ABCD内，分别延长CB，DA，交于点N，连接EN. 因为AB∥CD，CD＝2AB， 所以A为DN的中点． 又F为DE的中点， 所以AF∥EN， 因为EN 平面BCE，AF 平面BCE， 所以AF∥平面BCE. 法三：如图，取棱CD的中点G，连接AG，GF， 因为点F为棱DE的中点，所以FG∥CE， 因为FG 平面BCE，CE 平面BCE， 所以FG∥平面BCE. 因为AB∥CD，AB＝CG＝2， 所以四边形ABCG是平行四边形，所以AG∥BC， 因为AG 平面BCE，BC 平面BCE， 所以AG∥平面BCE. 又FG∩AG＝G，FG 平面AFG，AG 平面AFG， 所以平面AFG∥平面BCE. 因为AF 平面AFG，所以AF∥平面BCE. 例题2 如图，五面体ABCDE中，四边形ABDE是矩形，△ABC是正三角形，AB＝1，AE＝2，F是线段BC上一点，直线BC与平面ABD所成角为30°，CE∥平面ADF. (1)试确定F的位置； (2)求三棱锥A CDF的体积． 【解析】(1)连接BE交AD于点O，连接OF， 因为CE∥平面ADF，CE 平面BEC，平面ADF∩平面BEC＝OF， 所以CE∥OF. 因为O是BE的中点，所以F是BC的中点． (2)因为BC与平面ABD所成角为30°，BC＝AB＝1， 所以C到平面ABD的距离为h＝BC·sin 30°＝. 因为AE＝2，F是BC的中点． 所以VA CDF＝VF ACD＝VB ACD＝VC ABD＝×××1×2×＝. 【解题技巧提炼】 证明线面平行有两种常用方法：一是线面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证明线面平行． 在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行． 题型二 面面平行的判定与性质 例题1已知四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AD∥BC，AD＝2BC，E，F分别为CC1，DD1的中点． 求证：平面BEF∥平面AD1C1. 【证明】取AD的中点G，连接BG，FG.因为E，F分别为CC1，DD1的中点， 所以C1D1綊CD綊EF， 因为C1D1 平面AD1C1，EF 平面AD1C1， 所以EF∥平面AD1C1. 因为AD∥BC，AD＝2BC， 所以GD綊BC，即四边形BCDG是平行四边形， 所以BG綊CD，所以BG綊EF， 即四边形EFGB是平行四边形， 所以BE∥FG.因为F，G分别是DD1，AD的中点， 所以FG∥AD1，所以BE∥AD1. 因为AD1 平面AD1C1，BE 平面AD1C1， 所以BE∥平面AD1C1. 又BE 平面BEF，FE 平面BEF，BE∩EF＝E， 所以平面BEF∥平面AD1C1. 例题2[如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的多面体中，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD.请在图中作出平面α，使得DE α，且BF∥α，并说明理由． 【解析】如图，取BC的中点P，连接PD，PE，则平面PDE即为所求的平面α. 下面证明BF∥α. 因为BC＝2AD，AD∥BC，所以AD∥BP，且AD＝BP， 所以四边形ABPD为平行四边形， 所以AB∥DP. 又AB 平面PDE，PD 平面PDE， 所以AB∥平面PDE. 因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE. 又AF 平面PDE，DE 平面PDE， 所以AF∥平面PDE. 又AF 平面ABF，AB 平面ABF，AB∩AF＝A， 所以平面ABF∥平面PDE. 又BF 平面ABF，所以BF∥平面PDE，即BF∥α. 【解题技巧提炼】 证明面面平行的常用方法 1．利用面面平行的定义或判定定理． 2．利用垂直于同一条直线的两个平面平行( ... ...