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课件网) 1.1.2 函数的瞬时变化率 --导数 选择性必修 第二册（湘教版） 第 1 章 1 导数及其应用 知识回顾 2.函数的平均变化率的几何意义： 曲线的割线的斜率 x y O y=f(x) A B x1 x2 f(x1) f(x2) x2-x1 f(x2)-f(x1) 求s=f(t)在t处的瞬时速度的步骤: (1)求区间[t，t＋d]上的平均速度v(t，d)； (2)求v(t，d)在d趋于0时的极限值，即为t时刻物体的瞬时速度v(t)． d→0时 的极限 瞬时速度v(t) 知识回顾 函数的瞬时变化率： 新课进行 d→0时 的极限 瞬时变化率l 函数的瞬时变化率，数学上叫作函数的导数或微商. 新课进行 f ′(x0)(d→0) 这时我们就说f(x)在点x0处的导数存在，或者说f(x)在点x0处可导或可微. 新课进行 若函数y=f(x)在定义区间中任一点的导数都存在，则f ′(x) (或y′)也是x的函数，我们f ′(x) (或y′)把叫作y=f(x)的导函数或一阶导数. 既然导函数f ′(x) 也是函数，若f ′(x) 在定义区间中任一点处都可导，则它的导数叫作f(x)的二阶导数，记作f ′′(x) . 类似地，可以定义三阶导数f ′′′(x)等等. 例1. 求函数y=x2在点x=3处的导数。 解：因为△y=(3+d)2-32=6d+d2. 所以 =6+d， 令d→0， →6 所以函数y=x2在点x=3处的导数为6. 例题学习 练习：(1)求函数y=x2在x=1处的导数; (2)求函数 在x=2处的导数. 由定义求导数（三步法） 从物理学上看，运动物体的瞬时变化率at就是运动物体的瞬时速度。 从物理学上看，运动物体的瞬时速度关于t的瞬时变化率就是运动物体的加速度。 变式．质点M按规律s(t)=at2+1作直线运动，若质点M在t=2时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值。 解：因为△s=a(t+d)2+1－(at2+1) =2atd+ad2， 所以 =2at+ad， 当d→0时，s′=2at， 由题意知t=2时，s′=8，即4a=8，解得a=2. 例.设f(x)在x处可导，则 ＝( ) A．2f ′(x) B. f ′(x) C．f ′(x) D．4f ′(x) 解析 C ∵f(x)在x处可导， ∴ ＝f ′(x)． √ 练习1:设函数f(x)在点x0处可导,求下列各极限值: 课堂小结 1.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物理意义了认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。 2.要切实掌握求导数的三个步骤： (1)求函数的增量； (2)求平均变化率； (3)取极限，得导数. 3.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系。 （1）函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个 常数，不是变数。 （2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x）的导函数。 （3）如果函数y＝f (x)在开区间(a ,b)内每一点都可导,就说函数y＝f (x)在开区间(a ,b)内可导，这时,对于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数，这样就在开区间(a ,b)内 可构成一个新的函数，称作f (x)的导函数。 （4）函数f (x)在点x0处的导数 就是导函数 在x=x0处的函数值，即 。 这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。 课 后 作 业 Thank you for watching ! 1.练习册第65页：5、7、10 2.练习册第3页：4 3.记忆本节的公式和定义、结论. 4.完成练习册相关内容（直接做在练习册上） ... ...
