第三章 §4 4.1 4.2 A 组·素养自测 一、选择题 1．已知l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量为v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ等于( B ) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析] 由l1∥l2，得v1∥v2，得＝＝，故λ＝2. 2．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－1,2)，则下列各点在平面α内的是( C ) A．(－4,4,0) B．(2,0,1) C．(2,3,3) D．(3，－3,4) [解析] 设P (x，y，z)，若点P在平面α内，则n·＝0，则2(x－1)－(y＋1)＋2(z－2)＝0，经过验证只有点(2,3,3)满足，故选C． 3．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系Oxyz，E，F分别在棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则下列向量中，能作为平面AEF的一个法向量的是( A ) A．(1，－1,3) B．(1，－1，－3) C．(2，－3,6) D．(－2,3，－6) [解析] 设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E，F，所以＝，＝.设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，则即不妨取x＝1，则y＝－1，z＝3，故n＝(1，－1,3)．故选A． 4．(多选)在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中一定成立的是( ABC ) A．⊥ B．⊥ C．⊥ D．⊥ [解析] ∵是平面ABCD的法向量， ∴⊥，⊥， 又∵四边形ABCD为菱形， ∴BD⊥AC，又BD⊥PA， ∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC， ∴⊥.与不一定垂直． 二、填空题 5．已知直线l的方向向量v＝(2，－1,3)，且过A(0，y,3)和B(－1，2，z)两点，则y＝___，z＝___. [解析] 因为＝(－1,2－y，z－3)，∥v，故＝＝，故y＝，z＝. 6．如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是_②③④__. [解析] 还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN为异面直线且垂直． 三、解答题 7．如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是PA，BD上的点，且PM∶MA＝BN∶ND＝5∶8. 求证：直线MN∥平面PBC. [证明] ＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－＋＋ ＝－(－)＋＋(＋) ＝－＋＝－， ∴与、共面，∴∥平面BCP， ∵MN 平面BCP，∴MN∥平面BCP. 8．如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点． (1)求cos〈，〉的值； (2)求证：BN⊥平面C1MN. [解析] 以C为原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Cxyz. (1)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0,1,0)，B1(0,1,2)， ∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)， ∴·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3，||＝，||＝， ∴cos〈，〉＝＝. (2)证明：依题意得C1(0,0,2)，N(1,0,1)， ∴M，∴＝，＝(1,0，－1)，＝(1，－1,1)， ∴·＝×1＋×(－1)＋1×0＝0， ·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0， ∴⊥，⊥， ∴BN⊥C1M，BN⊥C1N，且C1M 平面C1MN，C1N 平面C1MN，C1M∩C1N＝C1.∴BN⊥平面C1MN. B 组·素养提升 一、选择题 1．在正方体AC1中，PQ与直线A1D和AC都垂直，则直线PQ与BD1的关系是( B ) A．异面直线 B．平行直线 C．垂直不相交 D．垂直且相交 [解析] 取D点为坐标原点建系后， ＝(1,0,1)，＝(－1,1,0)， 设＝(a，b，c)，则 取＝(1,1，－1)． ∵＝(0,0,1)－(1,1,0)＝(－1，－1,1)＝－， ∴∥，∴PQ∥BD1. 2．两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则直线l1和l2的位置关系是( A ) A．平行 B．相交 C．垂直 D．不确定 [解析] v2＝－2v1，∴l1与l2平行． 3．已知线段AB的两端点的坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则线段AB与哪个坐 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
