7.2 实际问题中的最值问题 学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决实际生活中简单的优化问题． 导语 “宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁等各个方面，无处不有数学的重大贡献．”著名数学家华罗庚曾如此精辟地论述了数学与生活的关系．导数作为数学工具是如何在生活中应用的呢？ 一、面积、体积最值问题 例1 请你设计一个包装盒．如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x(cm)． (1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 解 设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)， 由已知得 a＝x，h＝＝(30－x)，00；当x∈(20,30)时，V′<0. 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值． 此时＝. 即包装盒的高与底面边长的比值为. 反思感悟 (1)利用导数解决优化问题的基本思路 (2)几何中最值问题的求解思路 面积、体积(容积)最大、周长最短、距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验． 跟踪训练1 某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)． (1)将S表示为θ的函数； (2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积． 解 (1)由题图知，BM＝AOsin θ＝100sin θ， AB＝MO＋AOcos θ＝100＋100cos θ， 则S＝MB·AB＝×100sin θ×(100＋100cos θ) ＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)． (2)S′＝5 000(2cos2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)． 令S′＝0，得cos θ＝或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝. 当θ变化时，S′，S的变化情况如下表： θ S′ ＋ 0 － S ↗ 极大值 ↘ 所以当θ＝时，S取得最大值，Smax＝3 750 m2， 此时AB＝150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m. 二、用料最省、费用最低问题 例2 已知A，B两地相距200千米，一只船从A地逆水航行到B地，水速为8千米/时，船在静水中的航行速度为v千米/时(8＜v≤v0)．若船每小时航行所需的燃料费与其在静水中的航行速度的平方成正比，当v＝12(千米/时)时，船每小时航行所需的燃料费为720元．为了使全程燃料费最省，船的实际航行速度应为多少？ 解 设船每小时航行所需的燃料费为y1元，比例系数为k(k＞0)，则y1＝kv2. ∵当v＝12时，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5. 设全程燃料费为y元， 由题意，得y＝y1·＝， ∴y′＝＝. 令y′＝0，解得v＝0(舍去)或v＝16. ∴当v0≥16时，v∈(8,16)，y′＜0，即y单调递减； v∈(16，v0]时，y′＞0，即y单调递增， 故当v＝16(千米/时)时，y取得极小值，也是最小值，此时全程燃料费最省； 当v0＜16时，v∈(8，v0]时，y′＜0， 即y在(8，v0]上单调递减， 故当v＝v0时，ymin＝，此时全程燃料费最省． 综上可得，若v0≥16，则当v＝16(千米/时)时，全程燃料费最省，为32 000元；若v0＜16，则当v＝v0时，全程燃料费最省，为元． 反思感 ... ...
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