5.3.2复数乘除运算的几何意义 教案

复数乘除运算的几何意义 【教学目标】 了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义. 【教学重难点】 复数三角形式乘、除运算的三角表示及其几何意义. 【教学过程】 一、问题导入 预习教材内容，思考以下问题： 1．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？ 2．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？ 二、基础知识 复数三角形式的乘、除运算： 若复数z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，则 （1）z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2) ＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． （2）＝ ＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 三、合作探究 1．复数三角形式的乘、除运算 【例1】计算： （1）8×4； （2）(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)]； （3）4÷. 【解】（1）8×4 ＝32 ＝32 ＝32 ＝32 ＝16＋16i. （2）(cos 225°＋isin 225°)÷[(cos 150°＋isin 150°)] ＝[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)] ＝(cos 75°＋isin 75°) ＝ ＝＋i ＝＋i. （3）4÷ ＝4(cos 0＋isin 0)÷ ＝4 ＝2－2i. 【规律方法】 （1）乘法法则：模相乘，辐角相加． （2）除法法则：模相除，辐角相减． （3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角的n倍． 2．复数三角形式乘、除运算的几何意义 【例2】在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数． 【解】因为3－i＝2 ＝2 所以2× ＝2 ＝2 ＝2 ＝3＋i， 2× ＝2 ＝2 ＝－2i. 故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i. 【规律方法】 两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2． 四、课堂检测 1．计算： （1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)； （2）2(cos 300°＋isin 300°)÷. 解：（1）(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°) ＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°) ＝cos 90°＋isin 90° ＝i. （2）2(cos 300°＋isin 300°)÷ ＝2÷ ＝ ＝ ＝－＋i. 1 / 4