必考点01 等差数列与等比数列 学案【原卷版+解析版】

中小学教育资源及组卷应用平台 必考点01 等差数列与等比数列 题型一 等差数列等比数列基本量运算 例题1 (2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　) A．－12　　　　　　　　　 B．－10 C．10 D．12 例题2我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯(　　) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 【解题技巧提炼】 等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d. 等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d. 等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1(a1≠0，q≠0)． 等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， Sn＝ 题型二 等差数列等比数列的判定与证明 例题1若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝. (1)求证：成等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． 例题2已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列． 【解题技巧提炼】 等差数列的判定与证明方法 方法 解读 适合题型 定义法 对于数列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数 {an}是等差数列 解答题中的证明问题 等差中项法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立 {an}是等差数列 通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列 选择、填空题中的判定问题 前n项和公式法 验证Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列 【提醒】如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件． 等比数列的判定方法 定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列 中项公式法 若数列{an}中，an≠0且＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列 通项公式法 若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列 前n项和公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列 题型三 等差数列等比数列的性质与应用 例题1(1)(2021·咸阳二模)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4，a10是方程x2－8x＋1＝0的两根，则S13＝(　　) A．58 B．54 C．56 D．52 (2)已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为(　　) A．100 B．120 C．390 D．540 (3)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 014，，则S2 019＝_____. 例题2(1)已知等比数列{an}的各项为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　) A．12　　　　　　　　　 B．10 C．8 D．2＋log35 (2)设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　) A. B．－ C. D. (3)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝_____. 【解题技巧提炼】 一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)；数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列；也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具． 应用等比数列性质解题时的2个注意点 (1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解 ... ...