必考点02 数列综合问题 学案【原卷版+解析版】

中小学教育资源及组卷应用平台 必考点02 数列综合问题 题型一 分组转化法 例题1已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和． 【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n. a1＝1也满足an＝n， 故数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前2n项和为T2n， 则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n)． 记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 则A＝＝22n＋1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2. 【解题技巧提炼】 若数列通项是几个数列通项的和或差的组合，如：等差加等比，等比加等比．对于这类数列求和，就是对数列通项进行分解，然后分别对每个数列进行求和．例如：an＝bn＋cn＋…＋hn，则＝＋＋…＋ 题型二 错位相减法 例题1设数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an－1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. 【解析】(1)由2Sn＝3an－1，① 得2Sn－1＝3an－1－1(n≥2)，② ①－②，得2an＝3an－3an－1，∴＝3(n≥2)， 又2S1＝3a1－1，∴a1＝1， ∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列， ∴an＝3n－1. (2)由(1)得，bn＝， ∴Tn＝， Tn＝， 两式相减，得Tn＝ ，∴Tn＝. 【解题技巧提炼】 如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解． 【提示】 (1)在写“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． (2)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解． 题型三 裂项相消 例题1(2021·福州模拟)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)．设bn＝an＋1－an. (1)证明：数列{bn}是等比数列； (2)设cn＝，求数列{cn}的前n项和Sn. 【解析】(1)证明：因为an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝an＋1－an， 所以＝＝＝＝2， 又b1＝a2－a1＝2－1＝1， 所以数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知bn＝1×2n－1＝2n－1， 因为cn＝ 所以cn＝， 所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝ 例题2已知函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项为Sn，则S2 018＝(　　) A.－1　　　　　　 B. －1 C. －1 D. ＋1 【答案】C 【解析】由f(4)＝2，可得4α＝2，解得α＝，则f(x)＝. 所以an＝＝＝， 所以S2 018＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 018＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1. 【解题技巧提炼】 看个性 考法(一)数列的通项公式形如an＝时，可转化为an＝，此类数列适合使用裂项相消法求和． 考法(二)数列的通项公式形如an＝时，可转化为an＝，此类数列适合使用裂项相消法求和 找共性 裂项相消法求和的实质和解题关键 裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项． (1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． (2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项 题型一 分组转化法 1．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3，则其前20项和为(　　) A．380－　　　　 B．400－ C．420－ D．440－ 【答案】C 【解析】　令数列{an}的前n项和为Sn，则S20＝a1＋a2＋…＋a20＝2(1＋2＋…＋20)－3 2．(2022·焦作模拟)已知{an}为等差数列，且a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝88，且数列{bn－an}为等比数列． ... ...