1.3 弧度制 教案

弧度制 【教学目标】 【核心素养】 1．了解角的另外一种度量方法———弧度制． 2．能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算．(重点、难点) 1．通过学习弧度制的概念，提升数学抽象素养． 2．通过角度制和弧度制的换算，培养数学运算素养. 【教学过程】 一、基础铺垫 1．弧度制 （1）弧度制的定义 在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制． （2）角度制与弧度制的互化 ①弧度数 (ⅰ)正角的弧度数是一个正数； (ⅱ)负角的弧度数是一个负数； (ⅲ)零角的弧度数是0； (ⅳ)弧度数与十进制实数间存在一一对应关系． ②弧度数的计算 |α|＝.如图： ③角度制与弧度制的换算 思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？ [提示] 在半径为1的圆中，1弧度的角为长度为1的弧所对的圆心角，又当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数，故1弧度角的大小与所在圆的半径大小无关． 2．弧长公式与扇形面积公式 已知r为扇形所在圆的半径，n为圆心角的度数，α为圆心角的弧度数． 角度制 弧度制 弧长公式 l＝ l＝|α|r 扇形面积公式 S＝ S＝l·r＝|α|r2 思考2：扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？ [提示] 设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则S＝lr，l＝αr. 二、新知探究 1．角度与弧度的互化 【例1】 设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝，β2＝－. （1）将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限； （2）将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角． [解] （1）∵1°＝ rad， ∴α1＝510°＝510×＝π， α2＝－750°＝－750×＝－π. ∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限． （2）β1＝＝×＝144°. 设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)． ∵－360°≤θ1＜360°， ∴－360°≤k·360°＋144°＜360°. ∴k＝－1或k＝0. ∴在－360°～360°范围内与β1终边相同的角是－216°. β2＝－＝－×＝－330°. 设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)． ∵－360°≤θ2＜360°， ∴－360°≤k·360°－330°＜360°. ∴k＝0或k＝1． ∴在－360°～360°范围内与β2终边相同的角是30°. 【规律方法】 角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点 （1）原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算． （2）方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝α·；n°＝n· rad． （3）注意点： ①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写； ②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数； ③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 2．用弧度制表示终边相同的角 【例2】 （1）把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π； （2）若β∈[－4π，0)，且β与（1）中α终边相同，求β. [解] （1）∵－1 480°＝－＝－10π＋，0≤<2π， ∴－1 480°＝－2×5π＝＋2×(－5)π. （2）∵β与α终边相同，∴β＝2kπ＋，k∈Z. 又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－，β2＝－π. 【规律方法】 1．根据已知图形写出区域角的集合的步骤： （1）仔细观察图形； （2）写出区间边界对应的角； （3）用不等式表示区域范围内的角． 2．注意事项：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错． 三、课堂总结 1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应． 2．解答角度与弧度的互化问题的 ... ...