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课件网) 4.2 二项式系数的性质 第五章 2022 内容索引 01 02 03 自主预习 新知导学 合作探究 释疑解惑 随堂练习 课标定位素养阐释 1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系. 2.理解和掌握二项式系数的性质,并会简单应用. 3.理解和初步掌握赋值法及其应用. 4.通过学习二项式系数的性质,培养直观想象和逻辑推理的素养. 5.借助二项式系数的性质的应用,提升数学运算的素养. 自主预习 新知导学 二项式系数表(杨辉三角) 【问题思考】 1.当n依次取1,2,3,…时,(a+b)n的展开式的二项式系数表如下: 根据上表,回答下列问题: (1)表中每行两端的数字有什么规律 (2)除1以外的每一个数与它“肩上”的两个数有什么关系 提示:(1)表中每行两端都是1. (2)表中每行除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数之和. 2.(1)二项式系数表: 此表叫作二项式系数表,历史上也称为杨辉三角. (2)二项式系数的性质: ①表中每行两端都是1. 3.做一做:(1)在(a+b)n的展开式中,第2项与第6项的二项式系数相等,则n=( ). A.6 B.7 C.8 D.9 (2)(1-2x)15的展开式中的各项系数和是( ). A.1 B.-1 C.215 D.315 解析:(1)由已知得 ,故n=1+5=6. (2)令x=1,可得(1-2x)15的展开式中的各项系数和为(1-2)15=-1. 答案:(1)A (2)B 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)杨辉三角中第n行的数字和为2n.( √ ) (3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.( × ) 合作探究 释疑解惑 探究一 “杨辉三角”的应用 【例1】 如图所示,在“杨辉三角”中斜线AB的左上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,….记其前n项和为Sn,求S19的值. 分析 本题关键是观察数列的特征及数列的每一项在杨辉三角中的位置,把各项还原为二项展开式中的二项式系数,再利用组合数求解. 解决与“杨辉三角”有关的问题的一般方法 【变式训练1】 如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第 行中从左至右第14个数与第15个数之比为2∶3. 答案:34 探究二 求展开式中各项系数的和 【例2】 设(1-2x)2 020=a0+a1x+a2x2+…+a2 020x2 020(x∈R). (1)求a0+a1+a2+…+a2 020的值; (2)求a1+a3+a5+…+a2 019的值; (3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 020|的值. 分析 先观察所求式子与展开式各项的特点,再利用赋值法求解. 解:(1)令x=1,得 a0+a1+a2+…+a2 020=(-1)2 020=1.① (2)令x=-1, 得a0-a1+a2-…-a2 019+a2 020=32 020.② ①-②,得2(a1+a3+…+a2 019)=1-32 020, 1.本例条件不变,求a0+a2+a4+a6+…+a2 020的值. 解:由a0+a1+a2+…+a2 020=(-1)2 020=1.① a0-a1+a2-…-a2 019+a2 020=32 020.② ①+②,得2(a0+a2+…+a2 020)=1+32 020, 2.本例条件不变,求a0,a1的值. 解:令x=0,得a0=(1-0)2 020=1. 由展开式,得a1为x的系数. 即a1=-4 040. “赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法,根据题目要求,灵活赋给字母不同值.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令x=0可得常数项,令x=1可得所有项的系数之和,令x=-1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差. 【变式训练2】 已知(x-2)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7. 求:(1)a1+a2+…+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6. 解:令x=1, 则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1.① 令x=-1, 则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=-37.② 令x=0,则a0=-27.③ (1)由①-③,得 a1+a2+a3+…+a7=-1+27=127. 探究三 求展开式中系数(或二项式系数)的最大项 【例3】 已知f(x)=( +3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项. 分析 求二项式系数最大的项,利用性质知展开式 ... ...
