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课件网) 4.2 超几何分布 第六章 2022 内容索引 01 02 03 自主预习 新知导学 合作探究 释疑解惑 随堂练习 课标定位素养阐释 1.通过具体实例,了解超几何分布及其均值. 2.能利用超几何分布解决简单的实际问题. 3.通过学习超几何分布,体会数学抽象的素养. 4.借助超几何分布解决实际问题,提升数学运算的素养. 自主预习 新知导学 超几何分布 【问题思考】 1.高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏:在一个口袋中装有5个红球,10个黑球,这些球除颜色外完全相同,一次从中摸出3个球,摸到2个红球1个黑球就获一等奖. (1)求获一等奖的概率. (2)用X表示摸到红球的个数,试写出X=k(k=0,1,2,3)的概率P(X=k). 2.(1)超几何分布:一般地,设有N件产品,其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品,用X表示取出的n件产品中次品的件数,那么P(X=k)= ,max{0,n-(N-M)}≤k≤min{n,M}.其中n≤N,M≤N,n,M,N∈N+. 若一个随机变量X的分布列由上式确定,则称随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布. (2)注意:公式中的k可以取的最小值为max{0,n-(N-M)},而不一定是0. (3)超几何分布的均值:一般地,当随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布时,其均值为EX= 3.做一做:高二(1)班数学兴趣小组有12人,其中有5名“三好学生”,现从该小组中任意选6人参加数学竞赛,用X表示这6人中“三好学生”的人数,则下列概率中等于 的是( ). A.P(X=2) B.P(X=3) C.P(X≤2) D.P(X≤3) 答案:B 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)超几何分布的模型是不放回抽样.( √ ) (2)从3本物理书和5本数学书中选出3本,记选出的数学书为X本,则X服从超几何分布.( √ ) (3)超几何分布只适用于抽取产品问题.( × ) 合作探究 释疑解惑 探究一 求超几何分布列及其均值 【例1】 某高二数学兴趣小组有7名同学,其中有4名同学参加过高一数学“南方杯”竞赛.若从该小组中任选3名同学参加高二数学“南方杯”竞赛,用ξ表示这3名同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的人数.求: (1)ξ的分布列; (2)ξ的均值. 分析 该问题中的ξ服从超几何分布,确定参数N,M,n后由公式求解即可. 解:(1)由题意可知,ξ服从参数为N=7,M=4,n=3的超几何分布.其中ξ的所有可能取值为0,1,2,3,分布列为 所以,随机变量ξ的分布列如表: 1.求超几何分布的步骤 (1)验证随机变量服从超几何分布列,并确定参数N,M,n; (2)确定X的所有可能取值; (3)计算P(X=k); (4)写出分布列(用表格或式子表示). 提示:也可通过古典概型解决,但利用超几何分布概率公式简化了对每一种情况的具体分析,因此要简单一些. 2.求超几何分布的均值,确定参数N,M,n的值,直接套用超几何分布的均值公式Eξ= 即可,也可以列出分布列,利用均值公式求解. 【变式训练1】 从一批含有13件正品、2件次品的产品中,不放回地任取3件,用随机变量ξ表示取出次品的个数.求: (1)ξ的分布列; (2)ξ的均值. 解:(1)由题意知,ξ服从参数为N=15,M=2,n=3的超几何分布,其中ξ的所有可能取值为0,1,2,分布列为 所以,随机变量ξ的分布列如表: 探究二 利用超几何分布模型求相应事件的概率 【例2】 在一个口袋中有30个球,其中红球10个,其余为白球,这些球除颜色不同外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球,摸到4个红球就中一等奖,那么获一等奖的概率有多大 分析 摸到红球的个数X服从超几何分布,可利用公式求概率. 解:设X为摸到红球的个数,则X服从参数为N=30,M=10,n=5的超几何分布. 由题意知,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,则X的分布列为 即获一等奖的概率约为0.029. 学习超几何分布,要与古典概型和组合知识结合起来.在古典概型中,若样本空间包含的样本点个数为n(Ω),事件A包含的样本点个数为n(A),则P(A)= ,它 ... ...
