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课件网) 第1课时 从平面向量到空间向量、 空间向量的线性运算 第三章 2022 内容索引 01 02 03 自主预习 新知导学 合作探究 释疑解惑 随堂练习 课标定位素养阐释 1.体验把向量由平面向空间推广的过程. 2.了解空间向量的概念,掌握其表示方法. 3.能类比平面向量,给出空间向量的模、单位向量、零向量、平行向量、相等向量、相反向量等概念. 4.理解并掌握空间向量加法、减法、数乘运算及满足的运算律. 自主预习 新知导学 一、空间向量 【问题思考】 1.小刚从学校大门口出发,向东行走100 m,再向北行走600 m,最后乘电梯上行20 m到达住处. (1)位移是既有大小又有方向的量,可用向量表示.那么,小刚从学校大门口到住处的位移所对应的向量是三个位移所对应的向量的合成吗 提示:是. (2)问题(1)中的位移是不在同一个平面内的位移,已不能用平面向量来刻画,应如何刻画这种位移 提示:用空间向量. 2.空间向量的有关概念 (1)定义:与平面向量类似,在空间中,我们把具有大小和方向的量叫作空间向量. (2)长度:向量的大小叫作向量的长度或模. (3)表示法 (4)自由向量:数学中所研究的向量,与向量的起点无关,称为自由向量. (5)特殊向量: 名称 定义及表示 零向量 模为0的向量叫作零向量,记为0 单位向量 模为1的向量叫作单位向量 相反向量 方向相反且模相等的向量互为相反向量,向量a的相反向量用-a表示 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 名称 定义及表示 共线向量 当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时,称这两个向量互为共线向量(或平行向量).相等向量和相反向量都是共线向量的特殊情况.向量a、向量b、向量c互为共线向量,记作a∥b,a∥c,b∥c.规定:零向量与任意向量平行 共面向量 通常,我们把平行于同一平面的向量,叫作共面向量.共线向量是共面向量的一种特例 3.做一做:在长方体ABCD-A'B'C'D'的棱所在的向量中,与向量 的模相等的向量至少有( ). A.0个 B.3个 C.7个 D.9个 答案:C 二、空间向量的加减法 【问题思考】 (2)平面向量的加减法是利用什么法则进行的 提示:三角形法则或平行四边形法则. 上述求两个空间向量和的法则,叫作向量求和的三角形法则. (2)向量求和的平行四边形法则: 由此可见,平面向量求和的平行四边形法则,对空间向量同样适用. (3)与平面向量的加法满足的运算律类似,空间向量的加法也满足如下的运算律: ①交换律 a+b=b+a; ②结合律 (a+b)+c=a+(b+c). (4)空间向量的减法: 与平面向量类似,空间向量a与b的差也可定义为a+(-b),记作a-b,其中-b是b的相反向量. 答案:0 三、空间向量的数乘运算 【问题思考】 1.已知a为一空间向量,向量a与一个实数λ的乘积为λa. (1)λa是向量吗 提示:是. (2)当λ=0时,λa=0对吗 提示:不对,应为0. (3)若向量a与λa方向相反,则λ的取值范围是什么 提示:(-∞,0). 2.空间向量的数乘运算 (1)定义:与平面向量类似,实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量,记作λa.求实数与空间向量的乘积的运算称为空间向量的数乘运算. (2)向量λa的长度和方向满足: ①|λa|=|λ||a|; ②当λ>0时,向量λa与向量a方向相同;当λ<0时,向量λa与向量a方向相反;当λ=0时,λa=0. (3)空间向量的数乘运算满足如下的结合律和分配律: ①λ(μa)=(λμ)a; ②(λ+μ)a=λa+μa; ③λ(a+b)=λa+λb. 其中λ∈R,μ∈R. (4)定理:空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a=λb.通常把这个定理称为共线向量基本定理.(也称“一维向量基本定理”) 3.做一做:若非零空间向量e1,e2不共线,则使向量2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线的实数k的值为 . 解析:由题意知,2ke1-e2≠0,且e1+2(k+1)e2≠0. 若向量2ke1-e2与e1+2(k+1)e2共线,则存在实数λ,使得2ke1 ... ...
