3.4.1直线的方向向量与平面的法向量（课件+word版练习）

§4　向量在立体几何中的应用 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 课后训练巩固提升 A组 1.若n=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列所给向量中,能作为平面α的法向量的是(　　). A.(0,-3,1) B.(2,0,1) C.(-2,3,-1) D.(-2,-3,1) 解析:所有与向量n=(2,-3,1)共线的向量都是平面α的法向量,只有C选项中向量与n=(2,-3,1)共线. 答案:C 2.已知A,B,C三点的坐标分别为(4,1,3),(2,-5,1),(3,7,λ),若,则实数λ等于(　　). A.28 B.-28 C.14 D.-14 解析:=(-2,-6,-2),=(-1,6,λ-3),因为,所以=0,即2-36-2(λ-3)=0,解得λ=-14.故选D. 答案:D 3.已知a=1,2,,b=,x,y分别是直线l1,l2的一个方向向量.若l1∥l2,则(　　). A.x=3,y= B.x=,y= C.x=3,y=15 D.x=3,y= 解析:因为l1∥l2,所以, 解得x=3,y=. 答案:A 4.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是(　　). A.(1,-1,1) B.1,3, C.1,-3, D.-1,3,- 解析:要判断点P是否在平面α内,只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直,即·n是否为0,因此,要对各个选项进行检验. 对于选项A,=(1,0,1),则·n=(1,0,1)·(3,1,2)=5≠0,故排除A;同理可排除选项C,D. 对于选项B,=1,-4,,则·n=1,-4,·(3,1,2)=0,故选项B中的点在平面α内.故选B. 答案:B 5.已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),点P的坐标为(x,0,z),若PA⊥AB,PA⊥AC,则点P的坐标为　　　　　　　　　　. 解析:易得=(-1,-1,-1),=(2,0,1),=(-x,1,-z),因为PA⊥AB,PA⊥AC,所以解得 所以点P的坐标为(-1,0,2). 答案:(-1,0,2) 6.若A0,2,,B1,-1,,C-2,1,是平面α内的三点,设平面α的一个法向量为a=(x,y,z),则x∶y∶z=　　　　　. 解析:=1,-3,-,=-2,-1,-, 由题意知a·=0,a·=0, 即所以 所以x∶y∶z=y∶y∶=2∶3∶(-4). 答案:2∶3∶(-4) 7.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,若=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1),则给出下列结论: ①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的一个法向量;④.其中正确的有　　　　　.(填序号) 解析:=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=-2-2+4=0,则,即AP⊥AB;=(-1)×4+2×2+0=0,则,即AP⊥AD. 又AB∩AD=A,∴AP⊥平面ABCD,故是平面ABCD的一个法向量. 由于=(2,3,4),=(-1,2,-1), ,故不平行. 答案:①②③ 8. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,E为AB的中点,试建立适当的空间直角坐标系,并求平面CD1E的一个法向量. 解:如图,建立空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),D1(0,0,1),从而E(1,1,0). 所以=(1,-1,0),=(0,-2,1). 设平面CD1E的法向量为n=(x,y,z),则n·=0,n·=0. 所以所以 取y=1,得x=1,z=2. 所以平面CD1E的一个法向量为(1,1,2). 9. 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=AD=DC,底面ABCD为正方形,E为PC的中点,F在PB上,问F在何位置时,为平面DEF的一个法向量 解:建立空间直角坐标系D-xyz如图所示,设DA=2,则D(0,0,0),P(0,0,2),C(0,2,0), ∴E(0,1,1). ∵B(2,2,0),∴=(2,2,-2). 设F(x,y,z),则=λ,λ∈R, 即(x,y,z-2)=λ(2,2,-2),∴ ∴F(2λ,2λ,2-2λ),∴=(2λ,2λ,2-2λ). ∵为平面DEF的一个法向量, ∴=0,即4λ+4λ-2(2-2λ)=0,解得λ=. ∴当F为PB的一个三等分点(靠近点P)时,为平面DEF的一个法向量. B组 1.设直线l1的方向向量为a=(1,3,7),直线l2的方向向量为b=(3,x,3y),若l1∥l2,则实数x,y的值分别是(　　). A.9,21 B.9,7 C.3,21 D.3,7 解析:a∥b ,故x,y的值分别是9,7. 答案:B 2.已知两个向量a=(2,3,1),b=(5,6,4)均平行于平面α,则平面α的一个法向量为(　　). A.(1,-1,1) B.(2,-1,1) C.(-2,1,1) D.(-1,1,-1) 解析:显然a与b不平行,设平面α的法向量为n=(x,y,z),则所以 取z=1,得x=-2,y=1,所以n=(-2,1,1)为平面α的一个法向量. 答案:C 3.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的 ... ...