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课件网) 4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系 我们已经把向量由平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和长度的问题.我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决几何问题的关键. 平行和垂直是立体几何中主要的位置关系，那么如何用向量方法进行研究呢？ 1.学会用直线的方向向量与平面的法向量证明直线与平面的位置关系． 2.学习用向量证明直线与平面垂直的判定定理、两个平面平行的判定定理和三垂线定理． 学会用直线的方向向量与平面的法向量证明几何问题.培养逻辑推理、数学抽象素养. 体会课堂探究的乐趣， 汲取新知识的营养， 让我们一起 吧！ 进 走 课 堂 探究点1 用向量方法表示几何位置关系 因为直线的方向向量与平面的法向量是确定直线和平面位置的关键因素，所以可以利用直线的方向向量和平面的法向量表示空间直线与平面间的平行、垂直等位置关系. 设向量l,m分别是直线l,m的方向向量，n1,n2分别是平面α,β的法向量，用直线的方向向量和平面的法向量表达下列各种位置关系，并思考如何用向量方法证明这些问题. 几何关系 向量语言 l∥m l∥α α∥β l⊥m l⊥α α⊥β 有的问题比较简单，只是将几何语言转化为向量语言，如证明两条直线平行可以转化为证明这两条直线的方向向量是否共线.但有的问题较为复杂，不仅仅是几何语言与向量语言的转化,还涉及证明的方法，如用向量方法证明l∥α，可以有以下几种思路: 思路1 若只从直线的方向向量和平面的法向量入手考虑，设向量l是直线l的方向向量，n1是平面α的法向量，则只需证明l⊥n1. 思路2 考虑向量与平面平行的定义，以及平面向量基本定理,从而得到如下证明方法:将直线l的方向向量l用平面α的一组基线性表示，此时必有l∥α. 思路3 直接将线面平行的判定定理向量化，找到m α,且直线l与m的方向向量共线. 由此可知，运用向量证明几何问题的方法，一方面源于立体几何中定理的向量化表述, 另一方面也需要结合向量自身的特点. 设向量l,m分别是直线l,m的方向向量,n1,n2分别是平面α,β的法向量，则 图 3-35 探究点2 用向量方法证明一些立体几何中的定理 图 3-36 三垂线定理 若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直. 类似地可以得到： 三垂线定理的逆定理 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直. 1.设向量l,m分别是直线l,m的方向向量,n1,n2分别是平面α,β的法向量，则 2.用向量方法证明一些立体几何中的定理 ①直线与平面垂直的判定定理 ②两个平面平行的判定定理 ③三垂线定理 ④三垂线定理的逆定理 不要害怕批评。当你提出新的观念时，就要准备接受别人的批评。 ... ...
