第4讲 等积变形 1、三角形的面积=底边长高;所以，两个面积相等的三角形，当底边相等时，高也相等；反之亦然。 2、当两个三角形高相等时，面积之比等于底边长之比。 3、当两个三角形的底边长相等时，面积之比等于高之比。 4、在等底等高的情况下，三角形面积是平行四边形面积的一半； 5、底边之和等于平行四边形的一边，且高相等的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半； 6、高之和等于平行四边形的高，且分别以这条高的两边为底的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半。 灵活运用三角形和四边形的面积公式 掌握三角形的等积变形技巧 例1:如图，三角形ABC的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE的面积是多少？ A B E C 答案：三角形BDE的面积是4 D 解析：连结CE.此时出现两个“同高”模型 因为AE=3AB，所以AB:BE=1：2，所以三角形ABC面积：三角形BCE面积=1：2，三角形ABC面积为1，所以三角形BCE的面积为2，又因为BD=2BC，所以BC:CD=1：1，所以三角形BCE的面积：CDE的面积=1：1，所以三角形CDE的面积是2，所以三角形BDE的面积是4. 例2：正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中三角形BDF面积为多少平方厘米？ A D G ( H ) F B E C 答案：50平方厘米 解析:连接CF.则CF∥BD。则三角形BCD与三角形BDF就是这两条平行线之间的等积模型。因为他们有一条公共的底边BD，而他们的高的长度正好是这两条平行线之间的距离，两条平行线之间的距离处处相等（这个是平行线之间距离的性质），所以这两个三角形的高相等。 所以面积相等，而三角形BDC的面积为10×10÷2=50（平方厘米）。 例3：图中三角形AOB的面积为15平方厘米,线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积。 A D ( O ) B C 答案：80平方厘米 解析：三角形AOB的面积为15平方厘米，OB:OD=3：1，所以三角形AOD的面积为5平方厘米，而梯形中AD∥BC,所以三角形ADC与三角形ADB是平行线间的等积模型，所以他们面积相等，而他们的重叠部分是三角形AOD，所以都减去这部分之后就剩下三角形AOB与三角形DOC,所以面积也相等，所以三角形DOC的面积为15平方厘米。同样因为OD:OB=1:3,所以三角形DOC面积：三角形BOC的面积=1：3，所以三角形BOC的面积为45平方厘米。 所以梯形面积为15+15+5+45=80平方厘米。 例4：如下图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F,若三角形ADE的面积为1，求三角形BEF的面积。 C B ( E ) D A F 答案:1 解析：连接AC，因为DC∥AB,所以三角形ADE和三角形ACE的面积相等，这样把三角形ADE的面积转化成求ACE的面积，又因为AF∥BC,所以三角形ABC的面积与三角形BCF的面积相等，而他们的重叠部分为三角形CBE的面积，所以都去掉它之后剩下的面积也相等，即三角形ACE与三角形BEF的面积相等。所以三角形BEF的面积为与三角形ADE的面积也相等，即是1个单位。 例5：如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？ A D E B C 答案：15 解析：连接BE。因为AD:AB=1：5 ,所以三角形ADE的面积为1个单位，那么三角形ABE的面积为5个单位，因为AE:AC=1：3，所以三角形ABE的面积：三角形ABC的面积=1：3，所以三角形ABC的面积为：3×5=15. 例6： A E D F G ( H ) ( O ) B C 如图所示，长方形ABCD的长是12厘米，宽是8厘米，三角形CEF的面积是32平方厘米，则OG是多少厘米？ 答案：4厘米 解析：作EH⊥FG,三角形EFO的面积=FO×EH÷2,三角形CFO的面积=FO×CG÷2,而三角形CEF的面积=三角形EFO的面积+三角形CFO的面积，即32= FO×EH÷2+ FO×CG÷2= FO×(EH+CG)÷2=FO×CD÷2=FO×8÷2,所以FO=32×2÷8=8(厘米)，所以OG=12-8=4(厘米)； 1、如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：△AOB与 ... ...
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