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课件网) 2.4.1 函数的单调性、极值点、极值、最值 第三部分 内容索引 01 02 必备知识 精要梳理 关键能力 学案突破 必备知识 精要梳理 1.函数的导数与单调性的关系 函数y=f(x)在(a,b)内可导, (1)若f'(x)>0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递增; (2)若f'(x)<0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递减. 2.函数的导数与单调性的等价关系 函数f(x)在(a,b)内可导,f'(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f'(x)≥0 f(x)在(a,b)上为增函数.f'(x)≤0 f(x)在(a,b)上为减函数. 3.函数的极值、最值 (1)若在x0附近左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则f(x0)为函数f(x)的极小值. (2)设函数y=f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得. (3)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. 4.两个常用结论 (1)ln x≤x-1;(2)ex≥x+1. 5.构造辅助函数的四种方法 (1)移项法:不等式f(x)>g(x)(f(x)
0(f(x)-g(x)<0),进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x); (2)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数;把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构,根据“相同结构”构造辅助函数; (3)主元法:对于(或可化为)f(x1,x2)≥A的不等式,可选x1(或x2)为主元,构造函数f(x,x2)(或f(x1,x)); (4)放缩法:若所构造函数最值不易求解,可将所证明不等式进行放缩,再重新构造函数. 关键能力 学案突破 热点一 求单调区间或讨论单调性(多维探究) 类型一 求不含参数的函数的单调区间 【例1】已知函数h(x)=ln x-ax(a∈R).设f(x)=h(x)+ +(a+1)x,求函数f(x)的单调区间. 解题心得求f(x)的单调区间,需知f'(x)的正负,若f'(x)不含参数,但又不好判断正负,将f'(x)中正负不定的部分设为g(x),对g(x)再进行一次或二次求导,由g'(x)的正负及g(x)的零点判断出g(x)的正负,进而得出f'(x)的正负. 【对点训练1】设f(x)=ln x,g(x)= x|x|.令F(x)=xf(x)-g(x),求F(x)的单调区间. 则G(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减, 即F'(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减, ∴F'(x)≤F'(1)=0, ∴F(x)在定义域(0,+∞)上单调递减. 类型二 讨论含参数的函数的单调性 【例2】设a>0,讨论函数f(x)=ln x+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性. 解 f(x)的定义域是(0,+∞). 单调递增. (2)当a≠1时,g(x)是二次函数,首先讨论f'(x)=0是否有实根,方程g(x)=0对应的Δ=4(a-1)(3a-1). 由x1与x2的表达式知x10,可得0x2,所以f(x)在(0,x1)和(x2,+∞)上单调递增; 由f'(x)<0,可得x11时,有x1+x2>0且x1x2<0,此时x2<00,可得0x1,所以f(x)在(x1,+∞)上单调递减. 解题心得对于含参数的函数的单调性的讨论,常见的分类讨论点按讨论的先后顺序有以下三个: 分类讨论点1:求导后,考虑f'(x)=0是否有实根,从而引起分类讨论; 分类讨论点2:求导后,f'(x)=0=有实根,但不清楚f'(x)=0的实根是否落在定义域内,从而引起分类讨论; 分类讨论点3:求导后,f'(x)=0=有实根,f'(x)=0的实根也落在定义域内,但不清楚这些实根的大小关系,从而引起分类讨论. 【对点训练2】(2020全国Ⅱ,文21)已知函数f(x)=2ln x+1. (1)若f(x)≤2x+c,求c的取值范围; 解 设h(x)=f(x)-2x-c,则h(x)=2ln x-2x+1-c, 其定义域为(0,+∞),h'(x)= -2. (1)当00;当x>1时,h'(x)<0.所以h(x)在区间(0,1)单调递增,在区间(1,+∞)单调递 ... ... 
