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课件网) 第二章 三角形 2.3 第1课时 等腰(边)三角形的性质 情景引入 如图,把一张长方形纸片按图中的虚线对折, AC和AB有什么关系 这个三角形有什么特点 然后沿着虚线剪去一部分,再把它展开, 得△ABC. 一.基本概念 1.定义: 两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 如图AB=AC , 就是等腰三角形 2.等腰三角形的基本要素: 相等的两边叫做腰 另一边叫做 底边 两腰的夹角叫做顶角 腰和底边的夹角叫做底角 A B C 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 C A B AC=BC B C A AB=CB 腰： 底边： 顶角： 底角： 腰： 底边： 顶角： 底角： AC，BC AB A， B AB，CB AC B A， C C 探究 任意画一个等腰三角形ABC， 其中AB =AC， 如图, 作△ABC 关于顶角平分线AD 所在直线的轴反射， 由于∠1 =∠2， AB=AC， 因此： 射线AB的像是射线AC， 射线AC的像是射线 ； 线段AB的像是线段AC， 线段AC的像是线段 ； 点B的像是点C， 点C的像是点 ； 线段BC的像是线段CB. 从而等腰三角形ABC关于直线 对称. AB AB B AD 获取新知 由于点D 的像是点D, 因此线段DB 的像是线段 ， 从而AD 是底边BC上的 . 由于射线DB的像是射线DC, 射线DA的像是射线 , 因此∠BDA=∠CDA= °, 从而AD是底边BC上的 . 由于射线BA 的像是射线CA , 射线BC 的像是射线 ,因此∠B ∠C. DC 中点 DA 90 高 CB = 1、等腰三角形是轴对称图形 2、∠ B =∠ C 3、BD = CD ， AD 为底边上的中线 4、∠ADB = ∠ADC = 90°，AD为底边上的高 5、∠BAD = ∠CAD ， AD为顶角平分线 问题：结论（2）用文字如何表述？ C A B D 结论 等腰三角形是轴对称图形， 对称轴是顶角平分线所在的直线. 等腰三角形的两底角相等 （简称“等边对等角”）． 在△ABC中， ∵ AC=AB（已知 ） ∴ ∠B=∠C（等边对等角） 几何语言： 等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合 （简称“三线合一”）． 在△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上 1、∵AD ⊥ BC ∴∠ = ∠ ， = . 2、∵AD是中线， ∴ ⊥ ，∠ =∠ . 3、∵AD是角平分线， ∴ ⊥ ， = . 几何语言： BAD CAD BD CD BD CD BAD CAD AD BC AD BC 在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，BD=BC=AD，求△ ABC各角的度数 . 解：∵在△ABC中，AB=AC ∴∠ABC=∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180° ∵在△ABD中，BD=AD ∴∠ABD=∠A，∠BDC=∠A+∠ABD, 即∠BDC=2∠A ∵ 在△BDC中，BD=BC ∴∠BDC=∠BCD, ∠A+2∠ACB=180° 即 ∠A+4∠A=180° ∴∠A=36° ∠ABC=∠BCA=2∠A=72° 如图（1）在等腰△ABC中， AB =AC, ∠A = 36°,则∠B = ,∠C= . 变式练习： 1、如图（2）在等腰△ABC中，∠A = 50°, 则∠B = ，∠C= . 2、如图（3）在等腰△ABC中，∠A = 120°则∠B = ，∠C= . 72 ° 72 ° 65 ° 65 ° 30 ° 30 ° 想一想 如图， △ABC 是等边三角形， 那么∠A， ∠B，∠C的大小之间有什么关系呢？ 因为△ABC 是等边三角形， 所以AB＝BC＝AC, 从而∠C ＝∠A＝∠B 由三角形内角和定理可得： ∠A＝∠B＝∠C ＝ 60°． 等边三角形的三个内角相等，且都等于60°. 由于等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，分别是三个内角的平分线所在的直线. 例1 已知： 如图， 在△ABC中， AB=AC， BD⊥AC， 垂足为点D. 求证： ∠DBC= ∠A. 作AF⊥BC于F ∵AB=AC AF⊥BC ∴∠CAF=∠BAF= ∠BAC ∵AF⊥BC BD⊥AC ∴∠CAF+∠C=∠DBC+∠C=90° ∴∠DBC =∠CAF ∴∠DBC= ∠BAC 解 解题规律：在等腰三角形中，做顶角平分线或作底边上高或作底边上中线是一种常用的辅助线. 例题讲解 已知： 如图, 在△ABC 中, AB = AC,点D, E在边BC上, 且AD = AE. 求证： BD = CE. 证明：作AF⊥BC,垂足为点F, 则AF 是等腰三角形ABC 和等腰三角形ADE 底边上的高, 也 ... ...
