课件30张PPT。第11讲 函数与方程x轴 零点 f(a)·f(b)＜0 (a，b) f(c)＝0 c (x1,0) (x2,0)(x1,0) 两个 一个 无 f(a)·f(b)＜0 一分为二 零点 单击此处进入 活页限时训练 A级 基础达标演练 (时间：45分钟 满分：80分) 一、填空题(每小题5分，共35分) 1．(2011·南通无锡调研)已知方程2x＝10－x的根x∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝_____. 解析 设f(x)＝2x＋x－10，则由f(2)＝－4＜0，f(3)＝1＞0，所以f(x)的零点在(2,3)内． 答案 2 2．(2011·山东省济宁模拟)已知a是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足_____(与零的关系)． 解析 因为f(x)是(0，＋∞)上的增函数，且f(a)＝0，于是由0＜x0＜a，得f(x0)＜f(a)＝0，即f(x0)＜0. 答案 f(x0)＜0 3．若函数f(x)＝ax＋b的零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是_____． 解析 由f(x)＝ax＋b有零点2，得2a＋b＝0(a≠0)，代入g(x)，得g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，它有零点x＝0和x＝－. 答案 0，－ 4．设函数y(x)＝x－ln x(x＞0)，则函数f(x)在区间(0,1)，(1，＋∞)内的零点个数分别为_____． 解析 设y＝x与y＝ln x，作图象可知f(x)在区间(0,1)内无零点，在(1，＋∞)内仅有两个零点． 答案 0,2 5．(2011·常州模拟)若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是_____． 解析 ∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根， 由根与系数的关系知∴ ∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)＞0， 即－(4x2＋2x－6)＞0?2x2＋x－3＜0， 解集为. 答案 6．(2011·山东省菏泽测试)设函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－log4x的零点个数为_____． 解析 设y＝f(x)与y＝log4 x，分别画出它们的图象，得恰有3个交点，所以函数g(x)的零点个数为3. 答案 3 7．(2010·南通调研)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是_____． 解析 画出图象，令g(x)＝f(x)－m＝0，即f(x)与y＝m的图象的交点有3个，∴0＜m＜1. 答案 (0,1) 二、解答题(每小题15分，共45分) 8．若函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，求实数a的取值范围． 解 (1)当a＝0时，函数f(x)＝－x－1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点． (2)当a≠0时，函数f(x)＝ax2－x－1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－. 综上，当a＝0或a＝－时，函数仅有一个零点． 9．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围． 解 令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14， 依题意得或即 或解得－＜m＜0， 即实数m的取值范围是. 10．(★)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点． 思路分析 由题意可知，方程4x＋m·2x＋1＝0仅有一个实根，再利用换元法求解． 解 ∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点， 即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根． 设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0. 当Δ＝0时，即m2－4＝0， ∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)， ∴2x＝1，x＝0符合题意． 当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2时， t2＋mt＋1＝0有两正或两负根， 即f(x)有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符合题意． 综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0. 【点评】 方程的思想是与函数思想密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题． B级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：60分) 一、填空题(每小题5分，共30分) 1．(2011·苏州模拟)偶函数f(x)在区间为[0，a](a＞0)上是单调，函数，且f(0)·f(a)＜0， ... ...
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