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课件网) 22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 第22章 一元二次方程 知识回顾 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ 情景导入 求出一元二次方程x2＋3x－4＝0的两根x1和x2，计算x1＋x2和x1·x2的值．它们与方程的系数有什么关系？ 方程x2＋3x－4＝0的两根为x1＝1，x2＝－4， 于是x1＋x2＝－3，x1·x2＝－4. 我们发现：这个方程的二次项系数为1，它的两根之和－3等于一次项系数3的相反数，两根之积等于常数项－4. 对于任何一个二次项系数为1的一元二次方程，是否都有这样的结果呢？ 换几个一元二次方程再试试，结果怎样？ 获取新知 探索 我们来考察方程 x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0)．由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为 所以 重要发现 如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2, 那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q. 例题讲解 例1 不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： (1)x2＋3x－5＝0；(2)2x2－3x－5＝0. 解： (1) 设两根为x1、x2， 由上述二次项系数为1的一元二次方程 根与系数的关系，可得 x1＋x2＝－3，x1·x2＝－5. (2) 方程两边同除以2，得 设两根为x1、x2，可得 例2 试探索一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 ( a≠0，b2-4ac≥0) 的根与系数的关系． 解：方程两边同除以a，得 由二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系， 可得这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的 关系，前面概括的结论是它的特征(二次项系数为1)． 利用这个结论，我们可以直接写出例1中题(2)的答案： 例3 已知一元二次方程3x2-18x+m=0的一个根是1， 求它的另一个根及m的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以 x1 + x2 = 1+x2 = 6 ， 解得x2 = 5. 由于x1·x2 = 1×5 = 得m = 15. 答：方程的另一个根是5，m=15. 随堂演练 1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则 另 一个根是___，m =____. -3 随堂演练 2x1x2 2.设 x1、x2是方程x2－4x+1=0的两个根，则 (1) x1+x2 = _____ , x1x2 = _____， (2) x12+x22 = (x1+x2)2 - _____ = _____, (3) (x1-x2)2 = (_____)2 - 4x1x2 = _____. 4 1 14 12 x1+x2 3.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0;（2）2x2 - 3x - 2 = 0. 解：(1)这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6. （2）2x2 - 3x - 2 = 0. （2）这里 a = 2 , b = -3 , c = -2. Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 . 4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根， 且（x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值. 解：(1)根据根与系数的关系 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得：k=-7； （2）因为k=-7,所以 则： 总结常见的求值: 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 总结常见的求值: 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 课堂小结 根与系数的关系 （韦达定理） 内 容 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 应 用 ... ...
