第 13 讲 等比数列及其前 n 项和 【知识梳理】 1．等比数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于 (不 为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 q表示， an 定义的表达式为 ＋ 1 ＝q(n∈N*，q为非零常数)． an (2)等比中项：如果在 a与 b中间插入一个数 G，使 a，G，b成等比数列，那么 叫做 a与 b的等比中项，此时，G2＝ . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝ . (2)前 n项和公式： . 3．等比数列的性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)． (2)对任意的正整数 m，n，p，t，若 m＋n＝p＋t，则 ＝ . 特别地，若 m＋n＝2p，则 . (3)若等比数列前 n项和为 Sn，则 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且 q＝－1除 外)． (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k，… 为等比数列，公比为 . a1>0， a1<0，(5)若 或 则等比数列{an}递增． q>1 00， a1<0， 若 或 则等比数列{an}递减． 01， 【基础自测】 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)等比数列{an}的公比 q>1，则该数列单调递增．( ) (2)三个数 a，b，c成等比数列的充要条件是 b2＝ac.( ) (3)如果正项数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．( ) a 1－an(4) 数列{an}的通项公式是 an＝an，则其前 n项和为 Sn＝ .( ) 1－a 2 1 n S S10－S5 1．已知等比数列的首项为－ ，前 项和为 n，若 ＝ ，则 q的值为( ) S5 32 A 1．－ B.1 C．2 D．－2 2 2 3．已知数列{an}为等比数列，a2＝6,6a1＋a3＝30，则 a4＝_____. 4．已知三个数成等比数列，若它们的和等于 13，积等于 27，则这三个数为_____． 5．(多选)若{an}是公比为 q(q≠0)的等比数列，记 Sn为{an}的前 n项和，则下列说法正确的是 ( ) A．若 a1>0,00，则 S4＋S6>2S5 D 1．若 bn＝ ，则{bn}是等比数列 an 6．已知在等比数列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，则 a5等于( ) A．－2 B．±2 C．2 D．±1 2 【典型例题】 题型一 等比数列基本量的运算 1．(2020·全国Ⅱ)记 Sn为等比数列{an} S的前 n项和．若 a n5－a3＝12，a6－a4＝24，则 等于( ) an A．2n－1 B．2－21－n C － －．2－2n 1 D．21 n－1 2．(2020·广东外国语学校模拟)已知等比数列{an}的前 n项和为 Sn，若 a 2 1 1 1 132＝ ， ＋ ＋ ＝ ， 3 a1 a2 a3 2 则 S3等于( ) A.26 B.13 C.13 D．6 9 3 9 3．(2020·马鞍山质检)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关， 初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：有一个人走了 378里 路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目 的地……则此人后四天走的路程比前两天走的路程少( ) A．198里 B．191里 C．63里 D．48里 4．(2020·全国Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若 ak＋1＋ak＋2＋…＋ak 10＝215－25＋ ，则 k 等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 题型二 等比数列的判定与证明 例 1 (八省联考)已知各项都为正数的数列{an}满足 an＋2＝2an＋1＋3an. (1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列； (2) a 1 a 3若 1＝ ， 2＝ ，求{an}的通项公式． 2 2 跟踪训练 1 (2020·泰州模拟)已知数列{an}，{cn}满足 cn＝2an＋1＋an.若数列{an}是等比数列， 试判断数列{cn}是否为等比数列，并说明理由． 题型三 等比数列性质的应用 例 2 (1)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前 n项和，若 a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则 S12 等于( ) A．40 B．60 C．32 D．50 (2)已知 Sn是等比数列 ... ...
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