【高考一轮复习】高三数学 第2讲 两角和与差的正弦，余弦和正切公式 学案（pdf版，学生版+教师版）

第 2讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【知识梳理】 两角和与差的余弦、正弦、正切公式 (1)公式 C(α－β)：cos(α－β)＝ ； (2)公式 C(α＋β)：cos(α＋β)＝ ； (3)公式 S(α－β)：sin(α－β)＝ ； (4)公式 S(α＋β)：sin(α＋β)＝ ； (5)公式 T(α－β)：tan(α－β)＝ ； (6)公式 T(α＋β)：tan(α＋β)＝ . 【基础自测】 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)存在实数α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)在锐角△ABC中，sin Asin B和 cos Acos B大小不确定．( ) (3)公式 tan(α β) tan α＋tan β＋ ＝ 可以变形为 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意 1－tan αtan β 角α，β都成立．( ) α π＋ (4) 3sin α＋cos α＝2sin 3 .( ) α π＋ 2．若 cos α 4＝－ ，α是第三象限角，则 sin 4 等于( ) 5 A 2 B. 2 C 7 2 D.7 2．－ ．－ 10 10 10 10 3．cos 17°cos 77°＋cos 73°cos 13°＝ . 4．tan 10°＋tan 50°＋ 3tan 10°tan 50°＝ . 5 1＋tan 15°．计算： ＝ . 1－tan 15° 6．(多选)下面各式中，正确的是( ) π π ＋ A．sin 4 3 ＝sin πcos π 3＋ cos π B cos 5π 2． ＝ sin π cos π－ cos π 4 3 2 4 12 2 3 4 3 π － C π π 6 π π π．cos 12 ＝cos cos ＋ D．cos ＝cos －cos 4 3 4 12 3 4 【典型例题】 题型一 两角和与差的三角函数公式 θ π＋ θ π＋ 例 1 (1)(2020·全国Ⅲ)已知 sin θ＋sin 3 ＝1，则 sin 6 等于( ) A.1 B. 3 C.2 D. 2 2 3 3 2 π ，π (2) 3 1已知 sin α＝ ，α∈ 2 ，tan(π－β)＝ ，则 tan(α－β)的值为( ) 5 2 A 2．－ B. 2 C.11 D 11．－ 11 11 2 2 跟踪训练 1 (1)若 sin(2α β) 1－ ＝ ，sin(2α β) 1＋ ＝ ，则 sin 2αcos β等于( ) 6 2 A.2 B.1 C.1 D. 1 3 3 6 12 α π＋ (2)已知 cos 6 ＝ 3cos α，tan β 3＝ ，则 tan(α＋β)＝ . 3 题型二 两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 例 2 (1) 3π若α＋β＝－ ，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ . 4 (2)(2018·全国Ⅱ)已知 sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则 sin(α＋β)＝ . π π － ， 跟踪训练 2 (1)已知α∈ 2 2 ，tan α＝sin 76°cos 46°－cos 76°sin 46°，则 sin α等于( ) A. 5 B 5．－ C.2 5 D 2 5．－ 5 5 5 5 (2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ . 题型三 角的变换问题 3 (1) sin α 2 5例 已知 ＝ ，sin(β－α) 10＝－ ，α，β均为锐角，则β等于( ) 5 10 A.5π B.π C.π D.π 12 3 4 6 3π π β π， － (2)(2020·黑龙江大庆实验中学训练)已知α，β∈ 4 sin(α β) 3， ＋ ＝－ ，sin 4 24＝ ，则 5 25 α π＋ cos 4 ＝ . π － ，0 α π π＋ 3 (1) α 3 cos 6 sin α 4 3 α＋ 跟踪训练 已知 ∈ ， － ＝ ，则 sin 12 的值是( ) 5 A 2 3 B 2 C.2 3 D 4．－ ．－ ．－ 5 10 5 5 (2) π已知 <β<α<3π，cos(α 12－β)＝ ，sin(α＋β) 3＝－ ，则 sin 2α等于( ) 2 4 13 5 A.56 B 56 16．－ C. D 16．－ 65 65 65 65 【课后作业】 A 组 1．－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°等于( ) A.1 B. 3 C. 2 D. 3 2 3 2 2 2．在△ABC中，cos Acos B>sin Asin B，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 π π － ， 3．已知α，β∈ 2 2 ，tan α，tan β是方程 x2＋12x＋10＝0的两根，则 tan(α＋β)等于( ) A.4 B 1 1．－2或 C. D．－2 3 2 2 α π π 5π－ 3 ，4．已知 sin 4 ＝ ，α∈ 2 4 ，则 sin α等于( ) 5 A.7 2 B 2 2 2 7 2．－ C．± D．－ 或 10 10 10 10 10 5．(多选)下列四个选项中，化简正确的是( ) A cos( 15° ... ...