2.1.2椭圆的简单几何性质同步学案

1．2　椭圆的简单几何性质 [教材要点] 要点　椭圆的简单几何性质 标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 范围 ____≤x≤____，____≤y≤____ ____≤y≤____，____≤x≤____ 对称性 关于____轴、____轴对称，关于原点对称 顶点坐标 A1_____，A2____，B1____，B2____ A1____，A2____，B1____，B2____ 轴长 长轴长|A1A2|＝____，短轴长|B1B2|＝____ 离心率 e＝_____(0b>0，a>c>0)．如图a，b，c恰好构成一个直角三角形． 明确了a，b的几何意义，可得“已知椭圆的四个顶点求焦点”的几何作法．只要以短轴的端点B1(或B2)为圆心，以a为半径作弧，交长轴于两点，这两点就是焦点． (3)计算离心率常见形式，e ＝＝. [基础自测] 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)椭圆＝1(a>b>0)的长轴长等于a.(　　) (2)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆．(　　) (3)椭圆＝1的离心率e＝.(　　) (4)椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为(0，±)．(　　) 2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是(　　) A．(－1，0)，(1，0) B．(－6，0)，(6，0) C．(－，0)，(，0) D．(0，－)，(0，) 3．已知椭圆＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于(　　) A．8　　　　　B．7 C．5　　　　　D．4 4．椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是(4，0)，(0，2)，则此椭圆的方程是_____． 题型一　根据椭圆方程研究其几何性质 例1　已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标． 方法归纳 在求椭圆的长轴和短轴的长，焦点坐标，顶点坐标时，应先化为标准方程，然后判断焦点所在的位置，看两种情况是否都适合． 跟踪训练1　(1)椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A．5、3、0.8 B．10、6、0.8 C．5、3、0.6 D．10、6、0.6 (2)设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标． 题型二　根据椭圆几何性质求其标准方程 例2　求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是10，离心率是； (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； (3)经过点M(1，2)，且与椭圆＝1有相同离心率的椭圆的标准方程． 状元随笔　与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程为＝k1(k1>0，焦点在x轴上)或＝k2(k2>0，焦点在y轴上)． 方法归纳 　利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： ①确定焦点位置； ②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； ③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等． (2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． 跟踪训练2　(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则椭圆的标准方程为(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 (2)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是_____． (3)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos ∠OFA＝，则椭圆的标准方程是_____． 题型三　椭圆的离心率问题 角度1　定义法求椭圆离心率 例3　椭圆＝1(a>b>0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满 ... ...