5.1.3基本计数原理的简单应用同步学案

1．3　基本计数原理的简单应用 [教材要点] 要点一　两个原理的关系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题．区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事. 状元随笔　 加法原理 乘法原理 区别一 完成一件事，共有n类办法，关键词是“分类” 完成一件事，共分n个步骤，关键词是“分步” 区别二 每类办法中每种方法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果 每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事 区别三 各种方法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复 要点二　两个计数原理在解决计数问题中的用法 在利用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析，分清是分类还是分步. 状元随笔　分类加法计数原理、分步乘法计数原理的选择 分类加法计数原理的各类方法是相互独立的，用任何一种方法都可以完成这件事．而分步乘法计数原理的各个步骤是相互依存的，必须完成每个步骤，才能完成这件事. 根据具体问题的特征，正确认识分类和分步的特征，才能正确选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解决问题. [基础自测] 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i＝1，2，3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法．(　　) (2)所有两位数中，个位数字比十位数字大的两位数共有72个．(　　) (3)应用分类加法计数原理时为了避免漏掉某种情况，可以适当的重复．(　　) 2．某小组有8名男生、6名女生，从中任选男生、女生各一名去参加座谈会，则不同的选法有(　　) A．48种 B．24种 C.14种 D．12种 3．一项工作可以用两种方法完成，有3人会用第1种方法完成，有5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同的选法种数是(　　) A.8 B．15 C.16 D．30 4．一个科技小组中有4名女同学，5名男同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法_____种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法_____种． 题型一　抽取与分配问题 例1　在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋．现在从这7人中选2人分别同时参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？ 方法归纳 求解抽取(分配)问题的方法 (1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法． (2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可． 跟踪训练1　5个工程队承包某项工程的5个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案有多少种？ 题型二　组数问题 例2　用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：(1)四位密码？(2)四位数？(3)四位奇数？ 方法归纳 1．对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解． 2．解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则． 跟踪训练2　8张卡片上 ... ...