5.3　组合问题同步学案

第1课时　组合、组合数公式及其性质 [教材要点] 要点一　组合的概念 一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素为_____，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 状元随笔　(1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出． (2)组合的特性：元素的无序性．取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求． (3)根据组合的定义，只要两个组合的元素完全相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合；如果两个组合的元素不完全相同，那么这两个组合就是不同的组合． 要点二　组合数及其性质 1．组合数的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的所有组合的_____，叫作从n个不同元素中取出m(m≤n，且m，n∈N＋)个元素的_____，记作_____． 状元随笔　1.同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念．例如，从3个不同的元素a，b，c中取出2个元素的所有组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫做一个组合，即组合不是数，而是完成一件事的一种方法，而该问题的组合数为3，是一个数字． 2．我们可以从集合的角度理解组合数的概念．例如，从3个不同的元素a，b，c中任取2个的所有组合构成的集合为A＝{ab，ac，bc}，则组合数即为集合A的元素个数． 3．符号是一个整体，n，m均为正整数，且m≤n. 2．组合数公式及其性质 (1)公式：＝_____＝_____． (2)规定：＝1. (3)性质1：＝_____， 性质2：＝_____． [基础自测] 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是.(　　) (2)从a，b，c，d中选取2个合成一组，其中a，b与b，a是同一个组合．(　　) (3)“从3个不同元素中取出2个合成一组”，叫做“从3个不同元素中取出2个的组合数”．(　　) (4)组合和排列一样，都与“顺序”有关．(　　) 2．[多选题]下列问题中是组合问题的是(　　) A．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学去参加两个社区的社会调查，有多少种不同的选法？ B．从甲、乙、丙3名同学中选出2名同学，有多少种不同的选法？ C．3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ D．3本相同的书分给5名同学，每人一本，有多少种分配方法？ 3．若＝28，则n＝(　　) A．9　　　　　B．8　　　　　C．7　　　　　D．6 4．现有6名党员，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为_____． 题型一　组合的概念 例1　判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？ (2)10名同学分成人数相同的两个学习小组，共有多少种分法？ (3)从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？ (4)从a，b，c，d四名学生中选2名，去完成同一件工作，有多少种不同的选法？ 方法归纳 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题． 跟踪训练1　判断下列问题是排列问题还是组合问题： ①把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？ ②从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？ ③从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？ 题型二　组合数公式的应用 例2　解方程：＝；＝. 方法归纳 进行组合数的相关计算时，注意以下几点： (1)像排列数公式一样，公式＝一般 ... ...