5.4.2二项式系数的性质 同步学案

4．2　二项式系数的性质 [教材要点] 要点一　杨辉三角的特点 (1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数_____． (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的_____，即＝_____ 要点二　二项式系数的和 ＝_____． ＋…＝_____． 状元随笔　对于2n＝，也可以从集合的角度解释．设A是含有n个元素的集合，求A的子集个数时，可以按照子集中含有元素的个数进行分类：没有元素的子集(即空集)有 ＝2n. [基础自测] 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)(a＋b)n的展开式中，二项式系数具有对称性．(　　) (2)二项展开式的二项式系数和为.(　　) (3)二项式展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和．(　　) (4)二项展开式项的系数是先增后减的．(　　) 2．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是(　　) A．1 B．－1 C．215 D．315 3．若(1＋3x)n的展开式中，第3项的二项式系数为6，则第4项的系数为(　　) A．4 B．27 C．36 D．108 4．(2x－1)6展开式中各项系数的和为_____；各项的二项式系数和为_____． 题型一　杨辉三角 例1　如下图，它满足：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行(n≥2)第二个数是多少？ 方法归纳 解决与杨辉三角有关的问题的一般方法是：观察———分析，实验———猜想结论———证明，要得出杨辉三角中的数字的诸多排列规律，取决于我们的观察能力，注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察(横看成岭侧成峰，远近高低各不同)． 跟踪训练1　如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第15个数的比为2∶3. 题型二　二项式系数和与各项的系数和的基本问题 例2　(1)在的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为(　　) A．－32　　　　B．0　　　　C．32　　　　D．1 (2)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为32，则x2的系数为(　　) A．50 B．70 C．90 D．120 方法归纳 (1)对于(a＋b)n展开式中，二项式系数的和是＝2n. (2)对于(ax＋b)n的式子，求其展开式中的各项系数之和常用赋值法． 跟踪训练2　(1)设(5x－)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝240，则展开式中x3项的系数为(　　) A．500 B．－500 C．150 D．－150 (2)如果的展开式中各项系数之和为128，则n的值为_____，展开式中的系数为_____． 题型三　二项展开式中系数和问题 例3　已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7. (1)求a1＋a2＋…＋a7； (2)求a1＋a3＋a5＋a7； (3)求|a0|＋|a1|＋…＋|a7|. 状元随笔　解决二项式系数和问题的思维过程如下： 方法归纳 对于(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn的展开式，求各项系数和时，可令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋an＝(a＋b)n. 若求奇数项和或偶数项和，可分别令x＝1和x＝－1，得 两式相加减即可求出结果．对于形如(ax2＋bx＋c)n的式子，求其展开式的各项系数和，只需令x＝1.对于(ax＋by)n(a，b为常数)的式子，求其展开式的各项系数和，可令x＝y＝1. 跟踪训练3　多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10. (1)求a0＋a1＋…＋a9＋a10的值； (2)求a0－a1＋a2－a3＋…－a9＋a10的值； (3)求a0. 易错辨析　错用二项式系数的性质 例4　(1＋2x)20的展开式中，x的奇次项系数的和与x的偶次项系数的和各是多少？ 解析：设x的奇次项系数的和为A，x的偶次项系数的和为B，则令x＝1，得A＋B＝320， 令x＝－1，得B－A＝1， ∴2B＝320＋1，∴B＝，A＝. 即奇次项系数的和为，偶次项系数的和为. 【易错警示】 易错原因 纠错心得 求解本题，容易出现下列两种错误． 错解一：∵二项展开式中奇次项系数的和与偶次项系数的和相同，∴奇次项系数的和 ... ...