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课件网) 第2章 对称图形———圆 2.5 第2课时 切线的性质与判定 1．已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l的距离是： （1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米． 直线l和圆分别有几个公共点？分别说出直线l与圆的位置关系． 知识回顾 2．你有哪些方法可以判定直线与圆相切？ 圆的切线的判定方法： （1）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线； （2）与圆心的距离等于这个圆的半径的直线（即d=r)是圆的切线. 在砂轮上打磨刀具时，飞出的火星会沿着砂轮边缘的切线方向飞出. 下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？ 情景导入 经过圆上一点D画一条圆的切线l，并说明画图的依据. D O 获取新知 因为圆心O到直线l的距离OD等于⊙O的半径， 所以直线l是⊙O的切线. 做一做 l 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线判定定理的2个条件： ①经过半径的外端； ②垂直于这条半径． 小 结 解读 A O l 直线与圆相切的判定方法： （1）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线. （2）与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 归纳总结 例1. △ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD=∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由. A B C D O 例题讲解 解：直线AD与⊙O相切. ∵ AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°. ∴∠AB∠BAC＝90°. ∵∠CAD=∠ABC. ∴∠CAD∠BAC＝90°, 即AD⊥AB. ∴直线AD与⊙O相切（经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线）. 变式： 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的弦，∠CAD=∠ABC， 判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由. 证明切线的方法： 当直线与圆有交点时，连半径，证垂直. O A B C D E 分析:作直径AE，连接CE， ∠CAD=∠ABC=∠AEC. 下面证法与例1相同 A O l 直线l与⊙O相切于点A，你能得到哪些结论？ 圆的切线垂直于经过切点的半径. 切线的性质： 获取新知 探究 我们可以用反证法证明： （1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为点A', （2）因为直线CD与⊙O相切，所以圆心O到直线CD的距离OA'等于⊙O 的半径，所以点A'在⊙O上.此时，直线CD与⊙O有两个交点A和A'.这与已知条件“直线CD与⊙O相切”相矛盾. C D B O A （3）所以AB与CD垂直. A' 反证法 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. 符号语言 归纳总结 例2 如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，DE与AC有怎样的位置关系？为什么？ 解：DE与AC互相垂直. 连接OD，∵ AO=DO, ∴∠OAD=∠ODA. ∵AD平分∠BAC， ∴∠OAD=∠CAD. ∴∠ODA=∠CAD. ∴ OD∥AC. ∵DE是⊙O的切线, ∴DE⊥OD,即∠ODE=90 ∴∠DEA=90DE⊥AC 例题讲解 利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形或者垂直关系，再利用相关性质解题. 1、判断题： （1） 经过半径外端的直线是圆的切线.（ ） （2） 经过半径的一端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（ ） （3） 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（ ） （4） 与圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线.( ) （5） 经过直径的一端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.( ) √ √ √ × × 随堂演练 2.（2021 杭州）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，且OP＝2．若PT是⊙O的切线，T为切点，连接OT，则PT＝ ． 3. 如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？ 解：连接OB，则∠OBP=90°. 设⊙O的半径为r,则OA=OB=r, OP=OA+PA=2+r. 在Rt△OBP中， OB2+PB2=OP2，即r2+42=(2+r)2. 解得 r=3， O P B A 即⊙O的半 ... ...
