第3讲 有理数的乘除与乘方混合运算 一、有理数的乘法 知识引入 每个人心中都有自己的小九九，你知道什么是“小九九”吗？ 小九九是小算盘的意思 ，或者可以理解为想法。但小九九真正的由来是： 《九九乘法歌诀》，又常称为“小九九”。现在学生学的“小九九”口诀，是从“一一 得一”开始，到“九九八十一”止，而在古代，却是倒过来，从“九九八十一”起，到“二二得 四”止。因为口诀开头两个字是“九九”，所以，人们就把它简称为“九九”。大约到 13、14世纪的时候才倒过来像现在这样“一一得一……九九八十一”。 中国使用“九九口诀”的时间较早。在《荀子》、《管子》、《淮南子》、《战国策》等书中就能找 到“三九二十七”、“六八四十八”、“四八三十二”、“六六三十六”等句子。由此可见，早在“春秋”、“战国”的 时候，《九九乘法歌诀》就已经开始流行了。 知识导航 定 义 示例剖析 有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 任何数同0相乘，都得0． 有理数乘法步骤： ①先定号；②再求值 有理数乘法运算律： (乘法交换律) ①交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等． (乘法结合律) ②结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相 (乘法分 等． 配律) ③分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个 数分别同这两个数相乘， 再把积相加． 有理数乘法法则的推广： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因 数的个数是奇数时，积为负数.（奇负偶正） ②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0.（乘零得零） ③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；（带分化假） ④若有小数和分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计 算.（分小统一） 有理数四则运算的运算顺序： ①先乘除，再加减；其中加减法为一级运算，乘除法为二级运算． ②同级运算，按从左到右的顺序进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 经典例题 例题1 1 计算： (1) ． (2) ． (3) ． (4) ． 2 计算： (1) ． (2) ． (3) ． (4) ． 例题2 计算： (1) ． (2) ． (3) ． (4) ． 二、有理数的除法 知识导航 有理数除法法则： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数； ( ) 有理数除法的运算步骤： ①把除号变为乘号 ②把除数变为它的倒数 ③把除法转化为乘法，按照乘法运算的步骤进行运算． 经典例题 例题3 计算： (1) ． (2) ． (3) ． (4) ． 例题4 计算： (1) ． (2) ． (3) ． (4) ． 三、有理数的乘方 知识引入 大巾谓之幂。———《小尔雅·广诂》 古时候幂指的是包头发用的布，也就是头巾，那这个东西跟咱们的乘方有什么关系呢？ 知识导航 定 义 示例剖析 乘方的概念： 表示5个3相乘，即： 求n个相同因数a的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫 ； 做底数，n叫做指数， 读作“ 的 次方”或“ 的 次幂”. 表示5个 相乘，即： 个 ； 注意： 表示5个3相乘的相反数，即： 负数及分数的乘方，应把底数加上括号． ； ① 与 有区别， ； 表示5个 相乘，即： ② 与 有区别． ； 表示5个3相乘再除以7，即： 奇负偶正： 正数的任何次幂都是正数； 例如： ， 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数． ， “奇负偶正”口诀： ①当 为奇数时， ； 例如： ②当 为偶数时， . （ 为偶数） 即： （ 为奇数） 特别地： ①当 为奇数时， ； ②当 为偶数时， ； ③负数的奇数次幂是负数； ④负数的偶数次幂是正数； ⑤正数的任何次幂都是正数； ⑥1的任何次幂都是1. 经典例题 例题5 1 把下列各式写成乘方运算的形式： (1) = ． (2) = ． (3 ... ...
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