2023高考科学复习解决方案-数学(名校内参版) 第四章 4.3导数与函数的极值、最值（word含答案解析）

4．3　导数与函数的极值、最值 (教师独具内容) 1．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次). 2．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 3．重点提升逻辑推理和数学运算素养． (教师独具内容) 本考点以考查导数的运算以及导数与函数的 单调性、极值、最值之间的关系为主，其中含有参数的函数的极值、最值问题是高考的热点． (教师独具内容) (教师独具内容) 1．函数的极值与导数 2．函数的最值与导数 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点、有四个极小值点 B．有三个极大值点、一个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点 答案　C 解析　设f′(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4.当x＜x1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0，f(x)为减函数．则x1为极大值点，同理，x3为极大值点，x2，x4为极小值点． 2．函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e]上的最大值为(　　) A．1－e B．－1 C．－e D．0 答案　B 解析　因为f′(x)＝－1＝，当x∈(0，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln 1－1＝－1. 3．函数f(x)＝－x3＋3x＋1有(　　) A．极小值－1，极大值1 B．极小值－2，极大值3 C．极小值－2，极大值2 D．极小值－1，极大值3 答案　D 解析　因为f(x)＝－x3＋3x＋1，故有f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝－3x2＋3＝0，解得x＝±1，于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表： x (－∞，－1) －1 (－1，1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x) 极小值 极大值 所以f(x)的极小值为f(－1)＝－1，极大值为f(1)＝3. 4．若函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－]∪[，＋∞) B．(－∞，－)∪(，＋∞) C．(－，) D．[－，] 答案　B 解析　f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，解得a>或a<－. 5．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0，3]上的最大值为4，则m＝ ． 答案　4 解析　f′(x)＝x2－4，x∈[0，3]，当x∈[0，2)时，f′(x)<0，当x∈(2，3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0，3]上，f(x)max＝f(0)＝4，所以m＝4. 1．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(　　) A．ab C．aba2 答案　D 解析　解法一：因为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)，所以f′(x)＝2a(x－a)(x－b)＋a(x－a)2＝a(x－a)(3x－a－2b).令f′(x)＝0，结合a≠0可得x＝a或x＝. (1)当a>0时，①若>a，即b>a，此时函数f(x)在(－∞，a)上单调递增，在上单调递减，所以x＝a为函数f(x)的极大值点，满足题意；②若＝a，即b＝a，此时函数f(x)＝a(x－a)3在R上单调递增，无极值点，不满足题意；③若a，即b>a，此时易知函数f(x)在(－∞，a)上单调递减，在上单调递增，所以x＝a为函数f(x)的极小值点，不满足题意；②若＝a，即b＝a，此时函数f(x)＝a(x－a)3在R上单调递减，无极值点 ... ...