2013中考数学压轴题函数平行四边形问题精选解析(二)

2013中考数学压轴题函数平行四边形问题精选解析(二) 例3 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值； （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标． 图1 图2 解析 (1) 因为抛物线与x轴交于A(－4,0)、C(2,0)两点，设y＝a(x＋4)(x－2)．代入点B(0,－4)，求得．所以抛物线的解析式为． (2)如图2，直线AB的解析式为y＝－x－4．过点M作x轴的垂线交AB于D，那么．所以 ． 因此当时，S取得最大值，最大值为4． (3) 如果以点P、Q、B、O为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ//OB，PQ＝OB＝4． 设点Q的坐标为，点P的坐标为． ①当点P在点Q上方时，．解得． 此时点Q的坐标为（如图3），或（如图4）． ②当点Q在点P上方时，． 解得或（与点O重合，舍去）．此时点Q的坐标为(－4,4) （如图5）． 图3 图4 图5 考点伸展 在本题情境下，以点P、Q、B、O为顶点的四边形能成为直角梯形吗？ 如图6，Q(2,－2)；如图7，Q(－2,2)；如图8，Q(4,－4)． 图6 图7 图8 例4 在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系． （1）求点B的坐标； （2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式； （3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 图2 解析 (1)如图2，作BH⊥x轴，垂足为H，那么四边形BCOH为矩形，OH＝CB＝3． 在Rt△ABH中，AH＝3，BA＝，所以BH＝6．因此点B的坐标为(3,6)． (2) 因为OE＝2EB，所以，，E(2,4)． 设直线DE的解析式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得 解得，．所以直线DE的解析式为． (3) 由，知直线DE与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF＝． ①如图3，当DO为菱形的对角线时，MN与DO互相垂直平分，点M是DF的中点．此时点M的坐标为(5,)，点N的坐标为(－5,)． ②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)． ③如图5，当DO、DM为菱形的邻边时，NO＝5，延长MN交x轴于P． 由△NPO∽△DOF，得，即．解得，．此时点N的坐标为． 图3 图4 考点伸展 如果第（3）题没有限定点N在x轴上方的平面内，那么菱形还有如图6的情形． 图5 图6