2013中考数学压轴题函数相似三角形问题精选解析（一）

2013中考数学压轴题函数相似三角形问题精选解析（一） 例1 直线分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点． (1) 写出点A、B、C、D的坐标； (2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标； (3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 解析 （1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)． （2）因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三点，所以 解得 所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，顶点G的坐标为(1，4)． （3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为y＝3x＋3，因此CD//BG． 因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°． 因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x＋1)，那么． Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况： ①当时，．解得．所以，． ②当时，．解得．所以，． 图2 图3 考点伸展 第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB⊥BG；二是． 我们换个思路解答第（3）题： 如图3，作GH⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为H、N． 通过证明△AOB≌△BHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG＝90°． 在Rt△BGH中，，． ①当时，． 在Rt△BQN中，，． 当Q在B上方时，；当Q在B下方时，． ②当时，．同理得到，． 例2 Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数在第一象限内的图像与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2． （1）求m与n的数量关系； （2）当tan∠A＝时，求反比例函数的解析式和直线AB的表达式； （3）设直线AB与y轴交于点F，点P在射线FD上，在（2）的条件下，如果△AEO与△EFP 相似，求点P的坐标． 图1 解析 （1）如图1，因为点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数的图像上，所以 整理，得n＝2m． （2）如图2，过点E作EH⊥BC，垂足为H．在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝，EH＝2，所以BH＝1．因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m＋1)． 已知△BDE的面积为2，所以．解得m＝1．因此D(4，1)，E(2，2)，B(4，3)． 因为点D（4，1）在反比例函数的图像上，所以k＝4．因此反比例函数的解析式为． 设直线AB的解析式为y＝kx＋b，代入B(4，3)、E(2，2)，得 解得，． 因此直线AB的函数解析式为． 图2 图3 图4 （3）如图3，因为直线与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），所以FD// x轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO与△EFP 相似存在两种情况： ①如图3，当时，．解得FP＝1．此时点P的坐标为（1，1）． ②如图4，当时，．解得FP＝5．此时点P的坐标为（5，1）． 考点伸展 本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况： 第（1）题的结论m与n的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为，直线AB为．第（3）题FD不再与x轴平行，△AEO与△EFP 也不可能相似． ... ...