2013中考数学压轴题一元二次方程精选解析(一)

2013中考数学压轴题一元二次方程精选解析(一) 例1．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x 2－( 2k＋3 )x＋k 2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边长为5． （1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形； （2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长． 解析：（1）∵AB、AC方程x 2－( 2k＋3 )x＋k 2＋3k＋2＝0的两个实数根 ∴AB＋AC＝2k＋3，AB·AC＝k 2＋3k＋2 ∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC＝5 ∴AB 2＋AC 2＝BC 2，( AB＋AC )－2AB·AC＝25 即(2k＋3)2－2( k 2＋3k＋2 )＝25 ∴k 2＋3k－10＝0，∴k1＝－5，k,2＝2 当k＝－5时，方程为x 2＋7x＋12＝0，解得x1＝－3，x2＝－4（均不合题意，舍去） 当k＝2时，方程为x 2－7x＋12＝0，解得x1＝3，x2＝4 ∴当k＝2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形 （2）若△ABC是等腰三角形，则有①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC三种情况 ∵△＝( 2k＋3 )2－4( k 2＋3k＋2 )＝1＞0 ∴AB≠AC，故第①种情况不成立 ∴当AB＝BC或AC＝BC时，5是方程x 2－( 2k＋3 )x＋k 2＋3k＋2＝0的根 ∴5 2－5( 2k＋3 )＋k 2＋3k＋2＝0 即k 2－7k＋12＝0，解得k1＝3，k2＝4 当k＝3时，方程为x 2－9x＋20＝0，解得x1＝4，x2＝5 此时△ABC的三边长分别为5、5、4，周长为14 当k＝4时，方程为x 2－11x＋30＝0，解得x1＝5，x2＝6 此时△ABC的三边长分别为5、5、6，周长为16 例2．已知△ABC的三边长为a、b、c，关于x的方程x 2－2( a＋b )x＋c 2＋2ab＝0有两个相等的实数根，又sinA、sinB是关于x的方程( m＋5 )x 2－( 2m－5 )x＋m－8＝0的两个实数根． （1）求m的值； （2）若△ABC的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形的边长． 解析：（1）∵关于x的方程x 2－2( a＋b )x＋c 2＋2ab＝0有两个相等的实数根 ∴△＝4( a＋b )2－4( c 2＋2ab )＝0，即a 2＋b 2＝c 2 ∴△ABC是直角三角形 ∵sinA、sinB是关于x的方程( m＋5 )x 2－( 2m－5 )x＋m－8＝0的两个实数根 ∴sinA＋sinB＝ ，sinA·sinB＝ ∵在Rt△ABC中，sin2A＋sin2B＝sin2A＋cos2A＝1 ∴( sinA＋sinB )2－2sinA·sinB＝1 即( )2－2× ＝1 ∴m 2－24m＋80＝0，解得m1＝4，m2＝20 当m＝4时，方程为9x 2－3x－4＝0，解得x1＝ EQ \F(3＋ , 18 ) ，x2＝ EQ \F(3－ , 18 )＜0 ∵在Rt△ABC中，sinA＞0，sinB＞0 ∴m＝4不合题意，舍去 当m＝20时，方程为25x 2－35x＋12＝0，解得x1＝ ，x2＝ ，符合题意 ∴m＝20 （2）∵△ABC的外接圆面积为25π ∴外接圆半径为5，∴c＝10 由（1）知，sinA＝ 或sinA＝ ∴△ABC的两条直角边长分别为6，8 设△ABC的内接正方形的边长为t ①若正方形的两边在△ABC的两直角边上，则 ＝ 解得t＝ ②若正方形的一条边在△ABC的斜边上，易得斜边上的高为 ，则 ＝ EQ \F( －t, ) 解得t＝ 例3．已知关于x的方程x 2－( m＋n＋1)x＋m＝0（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β． （1）试用含有α、β的代数式表示m和n； （2）求证：α≤1≤β； （3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（ ，1），C（1，1），问是否存在点P，使m＋n＝ ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解析： （1）解：∵α、β为方程x 2－( m＋n＋1)x＋m＝0（n≥0）的两个实数根 ∴△＝( m＋n＋1)2－4m＝( m＋n－1)2＋4n≥0，且α＋β＝m＋n＋1，αβ＝m ∴m＝αβ，n＝α＋β－m－1＝α＋β－αβ－1 2分 （2）证明：∵( 1－α )( 1－β )＝1－(α＋β )＋αβ＝－n≤0（n≥0），又α≤β ∴α≤1≤β 4分 （3）解：要使m＋n＝ 成立，只需α＋β＝m＋n＋1＝ ①当点P（α，β）在BC边上运动时 由B（ ，1），C（1，1），得 ≤α≤1，β＝1 而α＝ －β＝ －1＝ ＞1 ∴在BC边上不存在满足条件的 ... ...