2013·全国卷(理科数学) 1． 设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 1．B [解析] 1，2，3与4，5分别相加可得5，6，6，7，7，8，根据集合中元素的互异性可得集合M中有4个元素． 2． (1＋i)3＝( ) A．－8 B．8 C．－8i D．8i 2．A [解析] (1＋i)3＝13＋3×12(i)＋3×1×(i)2＋(i)3＝1＋3i－9－3i＝－8. 3． 已知向量＝(λ＋1，1)，＝(λ＋2，2)，若(＋)(－)，则λ＝( ) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 3．B [解析] (＋)⊥(－)?(＋)·(－)＝0?2＝2，所以(λ＋1)2＋12＝(λ＋2)2＋22，解得λ＝－3. 4． 已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( ) A．(－1，1) B. C．(－1，0) D. 4．B [解析] 对于f(2x＋1)，－1<2x＋1<0，解得－10)的反函数f－1(x)＝( ) A.(x>0) B.(x≠0) C．2x－1(x∈) D．2x－1(x>0) 5．A [解析] 令y＝log2，则y>0，且1＋＝2y，解得x＝，交换x，y得f－1(x)＝(x>0)． 6． 已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－，则{an}的前10项和等于( ) A．－6(1－3－10) B.(1－310) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10) 6．C [解析] 由3an＋1＋an＝0，得an≠0(否则a2＝0)且＝－，所以数列{an}是公比为－的等比数列，代入a2可得a1＝4，故S10＝＝3×＝3(1－3－10)． 7． (1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是( ) A．56 B．84 C．112 D．168 7．D [解析] (1＋x)8展开式中x2的系数是C，(1＋y)4的展开式中y2的系数是C，根据多项式乘法法则可得(1＋x)8(1＋y)4展开式中x2y2的系数为CC＝28×6＝168. 8．、 椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是( ) A. B. C. D. 8．B [解析] 椭圆的左、右顶点分别为(－2，0)，(2，0)，设P(x0，y0)，则kPA1kPA2＝·＝，而＋＝1，即y＝(4－x)，所以kPA1kPA2＝－，所以kPA1＝－∈. 9．、 若函数f(x)＝x2＋ax＋在是增函数，则a的取值范围是( ) A．[－1，0] B．[－1，＋∞) C．[0，3] D．[3，＋∞) 9．D [解析] f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即a≥－2x在上恒成立，由于y＝－2x在上单调递减，所以y<3，故只要a≥3. 10． 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( ) A. B. C. D. 10．A [解析] 如图，联结AC，交BD于点O.由于BO⊥OC，BO⊥CC1，可得BO⊥平面OCC1，从而平面OCC1⊥平面BDC1，过点C作OC1的垂线交OC1于点E，根据面面垂直的性质定理可得CE⊥平面BDC1，∠CDE即为所求的线面角．设AB＝2，则OC＝，OC1＝＝3 ，所以CE＝＝＝， 所以sin∠CDE＝＝. 11．、 已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2，2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若·MB＝0，则k＝( ) A. B. C. D．2 11．D [解析] 抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l的方程为x＝ty＋2，与抛物线方程联立得y2－8ty－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2＝－16，y1＋y2＝8t，x1＋x2＝t(y1＋y2)＋4＝8t2＋4，x1x2＝t2y1y2＋2t(y1＋y2)＋4＝－16t2＋16t2＋4＝4. ·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4 ＝4＋16t2＋8＋4－16－16t＋4＝16t2－16t＋4＝4(2t－1)2＝0，解得t＝，所以k＝＝2. 12．、 已知函数f(x)＝cos xsin 2x，下列结论中错误的是( ) A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称 B．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称 C．f(x)的最大值为 D．f(x)既是奇函数，又是周期函数 12．C [解析] 因为对任意x，f(π－x)＋f(π＋x)＝cos xsin 2x－cos xsin 2x＝0，故函 ... ...
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