第八讲 计数之树形图、标数、归纳法 学习目标 巩固加法原理与乘法原理； 掌握计数的几种特殊方法，包括树形图、标数、归纳法； 熟练运用已学方法解决复杂的计数问题； 知识点睛 解决分类计数问题，有时候直接使用加法原理理解较为抽象，此时可结合列表或画树形图的形式帮助理解分析。 （1）n条直线最多可以把一个平面（或圆，或封闭图形）分成 1+1+2+3+4+……+n个部分。 （2）n个m边形最多可以把一个平面分成 2+n×(n-1)×m个部分 2+边数×个数×（个数-1）个部分 这里圆可以当作1边形。 精讲精练 树形图 甲，乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止。问：一共有多少种可能的情况？ 一只青蛙在A，B，C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？ 标数法 下图是一个道路图。小明从家里A处到学校B处上学，因为时间比较紧，小明要要在最短的时间内赶到学校上课，问小明从家到学校有多少中走法？ 如图，某城市的街道由5条东西与7条南北向马路组成。现在要从西南角的A处沿最短路线走到东北角的B处，由于修路十字路口C不能通过，那么共有多少种不同走法 泡泡和小新结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；第二天他们先去公园再去图书馆；第三天公园修路不能通行．问：这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？ 下图是一张道路图A 处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从A 开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走．如果先后有60个孩子到过路口B , 问：先后共有多少个孩子到过路口C？ 上一段12级楼梯，规定每一步只能上一级或两级.问要登上第12级楼梯共有多少种不同走法 (如果一次可以走1级，2级，3级呢？如果其中第10级坏了，到第12级有多少种方法？) 有16个桃子，如果规定每次只能拿2个或3个，那么拿完这堆桃子有多少中不同的拿法？ 归纳法 平面上有1条直线，把平面分成2个部分，2条直线最多可把平面分成4个部分，3条直线最多可把平面分成7个部分，4条直线最多可把平面分成11个部分。那么，10条直线最多可把平面分成几个部分. 平面上3个三角形可以将平面分割成多少个部分？平面上2012个圆最多能将平面分割成多少个部分？ 平面上3个圆最多能将平面分割成多少个部分？平面上2012个圆最多能将平面分割成多少个部分？ 方法总结 本讲主要学习了解决计数问题的几种特殊方法： 树形图：画树形图使分类更直观，更便于理解； 标数法：这种方法一般用于解决最短线路问题，是一种技巧性比较强的方法； 归纳法：这种方法是小学找规律问题的延伸，同时也是初中数学学习归纳法的预备。 课堂练习 A、B、C三个小朋友互相传球，先从A开始发球（作为第一次传球），这样经过了5次传球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的传球方式共有多少种。 如图所示，沿线段从A走最短路线到B有多少种走法？ 小群家到学校的道路如图所示。从小君家到学校，要求走最短的路线，那么共有_____种不同的走法。 平面上100个正方形可以将平面分成多少个部分？ 一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，最多可以迈3级台阶．从地面到最上面1级台阶，一共可以有多少种不同的走法 课后练习 一只青蛙在A，B，C三点之间跳动，若青蛙从A点跳起，跳4次仍回到A点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？ 如图，从起点走到终点，要求取出每个站点上的旗子，并且每个站点只允许通过一次，有种不多少同的走法。 如图，从A点到B点的最近路线有多少条？ 小群家到学校的道路如图4所示。从小君家到学校有_____种不同的走法。（只能沿图中向右向下的方向走） 一条直线分一个平面为两部分．两條直线最多分這个平面为四部分．问5条直线最 ... ...
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