第3节 空间直线、平面的平行 1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点,通过直观感知、操作确认、思辨论证,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定. 2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题. 1.直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行(线线平行 线面平行) 因为l∥a, a α, l α, 所以l∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行(线面平行 线线平行) 因为l∥α, l β, α∩β=b, 所以l∥b 2.平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行(线面平行 面面 平行) 因为a∥β,b∥β,a∩b=P,a α,b α, 所以α∥β 性质 定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行(面面平行 线线平行) 因为α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,所以a∥b 1.平行间的三种转化关系 2.平行关系中的三个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β. (2)平行于同一平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ. (3)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b. 3.平行问题中的唯一性 (1)过直线外一点与该直线平行的直线有且只有一条. (2)过平面外一点,与该平面平行的平面有且只有一个. 1.平面α∥平面β的一个充分条件是( D ) A.存在一条直线a,a∥α,a∥β B.存在一条直线a,a α,a∥β C.存在两条平行直线a,b,a α,b β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线a,b,a α,b β,a∥β,b∥α 解析:若α∩β=l,a∥l,a α,a β,则a∥α,a∥β,故排除A;若α∩β=l,a α,a∥l,则a∥β,故排除B;若α∩β=l,a α,a∥l,b β,b∥l,则a∥β,b∥α,故排除C.故选D. 2.已知直线l和平面α,若l∥α,P∈α,则过点P且平行于l的直线( B ) A.只有一条,不在平面α内 B.只有一条,且在平面α内 C.有无数条,一定在平面α内 D.有无数条,不一定在平面α内 解析:过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条,因为点P在平面α内,所以这条直线也应该在平面α内.故选B. 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则BD1与平面ACE的位置关系为 . 解析:如图所示,连接BD交AC于F,连接EF,则EF是△BDD1的中位线, 所以EF∥BD1, 又EF 平面ACE, BD1 平面ACE, 所以BD1∥平面ACE. 答案:平行 4.设α,β,γ为三个不同的平面,a,b为直线,给出下列条件: ①a α,b β,a∥β,b∥α;②α∥γ,β∥γ; ③α⊥γ,β⊥γ;④a⊥α,b⊥β,a∥b. 其中能推出α∥β的条件是 (填上所有正确的序号). 解析:①③中α,β可能相交也可能平行,②④中α∥β. 答案:②④ 直线、平面平行的基本问题 1.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( B ) A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行 C.α,β平行于同一条直线 D.α,β垂直于同一个平面 解析:若α∥β,则α内有无数条直线与β平行,反之不成立;若α,β平行于同一条直线,则α与β可以平行也可以相交;若α,β垂直于同一个平面,则α与β可以平行也可以相交,故A,C,D均不是充要条件.根据平面与平面平行的判定定理知,若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行,反之也成立,因此B中的条件是α∥β的充要条件.故选B. 2.已知两条不同的直线a,b,两个不同的平面α,β,有如下命题: ①若a∥α,b α,则a∥b; ②若α∥β,a α,则a∥β; ③若α∥β,a α,b β,则a∥b. 以上正确命题的个数为( C ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析:若a∥α,b α,则a与b平行或异面,故①错误;若α∥β,a α ... ...
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