中小学教育资源及组卷应用平台 专题07 二次函数与幂函数 【考点总结】 1．幂函数 (1)定义：形如y＝xα(α∈R 出卷网)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.21教育名师原创作品 (2)五种幂函数的图象 (3)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增；在上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 【常用结论】 1．幂函数的图象和性质 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．21世纪教育网版权所有 (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α>0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数； 当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数． 2．一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 【易错总结】 (1)二次函数图象特征把握不准； (2)二次函数的单调性规律掌握不到位； (3)忽视幂函数的定义域； (4)幂函数的图象掌握不到位． 例1．如图，若a<0，b>0，则函数y＝ax2＋bx的大致图象是_____(填序号)． 解析：由函数的解析式可知，图象过点(0，0)，故④不正确．又a<0，b>0，所以二次函数图象的对称为x＝－>0，故③正确．21教育网 答案：③ 例2．若函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m的取值范围是_____． 解析：因为函数y＝mx2＋x＋2在[3，＋∞)上是减函数， 所以，即m≤－. 答案： 例3．已知幂函数f(x)＝x－，若f(a＋1)
b＝，因为y＝是减函数， 所以a＝0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，所以0
