【同步讲义】人教A版必修1 第5讲 对数的运算 学案（解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 第五讲 对数的运算 【学习目标】 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算(重点). 2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数(重点)． 知识点1　对数的运算性质 若a>0且a≠1，M>0，N>0，则有： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN. (2)loga＝logaM－logaN. (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 知识点2　换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 题型一　利用对数的运算性质化简、求值 【例1】　计算下列各式的值： (1)lg－lg ＋lg； (2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. 解　(1)法一　原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5) ＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5 ＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10 ＝. 法二　原式＝lg－lg 4＋lg 7＝lg ＝lg(·)＝lg＝. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 规律方法　利用对数运算性质化简与求值的原则和方法 (1)基本原则： ①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．21教育网 (2)两种常用的方法： ①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 【训练1】　计算下列各式的值： (1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2). 解　(1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2) ＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2 ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2 ＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1. (2)原式＝ ＝ ＝. 题型二　利用换底公式化简、求值 【例2】　(1)(log43＋log83)(log32＋log92)＝_____. (2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值． (1)解析　原式＝＝ ·＝×＝. 答案　 (2)解　法一　∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b. 于是log3645＝＝＝ ＝＝. 法二　∵log189＝a,18b＝5，∴log185＝b. 于是log3645＝＝＝. 法三　∵log189＝a,18b＝5，∴lg 9＝alg 18，lg 5＝＝blg 18. ∴log3645＝＝＝＝＝. 规律方法　利用换底公式化简与求值的思路 【训练2】　(1)已知log1227＝a，求log616的值； (2)计算(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)的值．21cnjy.com 解　(1)由log1227＝a，得＝a， ∴lg 2＝lg 3. ∴log616＝＝＝＝. (2)法一　原式＝· ＝＝log25·(3log52) ＝13log25·＝13. 法二　原式＝ ＝ ＝＝13. 法三　原式＝(log2153＋log2252＋log2351)·(log512＋log5222＋log5323)21·cn·jy·com ＝(log52＋log52＋log52)＝3×log25·log52＝3×＝13. 题型三　利用对数式与指数式的互化解题 【例3】　(1)设3a＝4b＝36，求＋的值； (2)已知2x＝3y＝5z，且＋＋＝1，求x，y，z. 解　(1)法一　由3a＝4b＝36， 得a＝log336，b＝log436， 由换底公式得＝log363，＝log364， ∴＋＝2log363＋log364＝log3636＝1. 法二　由3a＝4b＝36， 两边取以6为底数的对数，得 alog63＝blog64＝log636＝2， ∴＝log63，＝log64＝log62， ∴＋＝log63＋log62＝log66＝1. (2)令2x＝3y＝5z＝k(k>0)， ∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k， ∴＝logk2，＝logk3，＝logk5， 由＋＋＝1，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1， ∴k＝30， ∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.21世纪教育网版权所有 规律方法　利用对数式与指数式互化求值的方法 (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化． (2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．2·1·c·n·j·y 【训练3】　已 ... ...