【同步讲义】人教A版必修1 第3讲 指数函数及其性质的应用（解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 第三讲 指数函数及其性质的应用 【学习目标】 1.理解指数函数的单调性与底数的关系(重点). 2.能运用指数函数的单调性解决一些问题(重、难点)． 题型一　指数函数单调性的应用 方向1　比较两数的大小 【例1】　(1)下列大小关系正确的是(　　) A．0.43<30.4<π0　　　 B．0.43<π0<30.4 C．30.4<0.43<π0　　 D．π0<30.4<0.43 (2)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a1. 出卷网50＝1,0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6，选C．21cnjy.com 答案　(1)B　(2)C 方向2　解简单的指数不等式 【例2】　(1)不等式3x－1≤2的解集为_____． (2)已知a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围． (1)解析　∵2＝－1，∴原不等式可化为3x－1≤－1，∵函数y＝x在R上是减函数，∴3x－1≥－1，∴x≥0，故原不等式的解集是{x|x≥0}． 答案　{x|x≥0} (2)解　当a>1时，∵a－5x>ax＋7，∴－5x>x＋7，解得x<－； 当0ax＋7，∴－5x－. 综上所述，x的取值范围是：当a>1时，x<－；当0－. 方向3　指数型函数的单调性 【例3】　判断f(x)＝x2－2x的单调性，并求其值域． 解　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u. ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增， 又∵y＝u在(－∞，＋∞)上递减， ∴y＝x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减． ∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1， ∴y＝u，u∈[－1，＋∞)， ∴0＜u≤－1＝3， ∴原函数的值域为(0,3]． 规律方法　1.比较幂值大小的三种类型及处理方法 2．解指数不等式的类型及应注意的问题 (1)形如ax>ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，要对a分为01两种情况分类讨论．21·世纪*教育网 (2)形如ax>b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．2-1-c-n-j-y 3．函数y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性的处理技巧 当a>1时，y＝af(x)与y＝f(x)的单调性相同，当0， 当n＝8时，y＝×8＝<， 所以至少应过滤8次才能使产品达到市场要求． 规律方法　指数函数在实际问题中的应用 (1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题． (2)在实际问题中，经常会遇到指数增 出卷网长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型．21教育网 【训练1】　春天来了，某池塘 出卷网中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了_____天． 解析　假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷 出卷网叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系 ... ...