中小学教育资源及组卷应用平台 第六讲 分段函数及映射 基础巩固 1．在映射f：A→B中，下列说法中不正确的为( )． ①集合B中的任一元素，在集合A中至少有一个元素与它相对应 ②集合B中至少存在一个元素在集合A中无原像 ③集合B中可能有元素在集合A中无原像 ④集合B中可能有元素在集合A中的原像不止一个 A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】A 点拨：映射允许集合 B中的某些元素在集合A中没有原像，允许A中不同的元素在B中有相同的像，故①②不正确．2．设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，则下列对应f中不能构成A到B的映射的是( )．21*cnjy*com A． B． C． D． 【答案】C 点拨：对于选项C，A中的元素B，∴f：x→y＝不能构成A到B的映射． 3．下列对应是集合M到集合N的一一映射的是( )． A．M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N B．M＝N＝R，f：x→y＝x2，x∈M，y∈N C．M＝N＝R，f：x→y＝，x∈M，y∈N D．M＝N＝R，f：x→y＝x3，x∈M，y∈N 【答案】D 点拨：A中集合M 的元素0，在N中没有元素与之对应，所以这个对应不是映射；B中集合M的元素±1，在f下的像都是1，故这个对应不是一一映射；C中，负实数及0在f下没有元素和它对应，故这个对应不是映射，故选D.【来源：21cnj*y.co*m】 4．已知(x，y)在映射f下的像是(x＋y，x－y)，则(2 010，2 012)在映射f下的原像是( )． A．(2 011，－1) B．(－1,2 011) C．(4 022，－2) D．(－2,4 022) 【答案】A 点拨：∵∴ 5．已知映射f：A→B，其中集 合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的像，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是( )． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 点拨：∵a∈A，A＝{－3，－2，－1，1,2,3,4}， ∴|a|＝1,2,3,4，即B＝{1,2,3,4}． 6．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，－2}，设映射f：A→B，如果B中的元素都是A中的元素在f下的像，则这样的映射有( )． A．16个 B．14个 C．12个 D．8个 【答案】B 点拨：由题意知，从集合A到 集合B的映射总个数是24＝16个，因为B中的元素都是A中的元素在f下的像，所以要除去A中1,2,3,4都对应－1和1,2,3,4都对应－2这两个，故满足题意的映射共有16－2＝14个，故应选B.【来源：21·世纪·教育·网】 能力提升 7．设映射：f：x→－x2＋2x是实数集M到实数集N的映射．若对于实数p∈N，在M中不存在原像，则p的取值范围是_____．21cnjy.com 【答案】(1，＋∞) 点拨：由题意可得， 若p在M中不存在原像，说明方程－x2＋2x＝p无实解，即方程x2－2x＋p＝0的判别式Δ＝4－4p＜0，∴p＞1. 8．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方 由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为_____．【出处：21教育名师】 【答案】6,4,1,7 点拨：根据题意得解得∴明文为6,4,1,7. 9．设集合A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f是A到B的一个映射，并且满足：(x，y)→(－xy，x－y)． (1)求B中的元素(3，－4)在A中的原像； (2)试探索B中哪些元素在A中存在原像； (3)求B中元素(a，b)在A中有且只有一个原像时，a，b所满足的关系． 解：(1)设(x，y)是B中的元素(3，－4)在A中的原像， ∴解得或∴(3，－4)在A中的原像有两个，分别为(－1,3)与(－3,1)． (2)设任意(a，b)∈B，则它在A中的原像(x，y)应满足由②可得y＝x－b，将它代入①式并化简得x2－bx＋a＝0③.当且仅当Δ＝b2－4a≥0时，方程③有实数解，因此只有当B中的元素(a，b)满足b2－4a≥0时，在A中才有原像．2-1-c-n-j-y (3)由以上(2)的解题过程可知：只 ... ...
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