中小学教育资源及组卷应用平台 第十讲 三角函数模型的简单应用 学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题. 2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 知识点 利用三角函数模型解释自然现象 在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化．21·世纪*教育网 思考 现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？ 答案 三角函数模型． 梳理 (1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤 第一步：阅读理解，审清题意． 读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．【来源：21·世纪·教育·网】 第二步：收集、整理数据，建立数学模型． 根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三 出卷网角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化． 第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答． 第四步：将所得结论转译成实际问题的答案． (2)三角函数模型的建立程序 如图所示： 类型一 三角函数模型在物理中的应用 例1 一根细线的一端固定，另一端悬挂 出卷网一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin.2·1·c·n·j·y (1)画出它的图象； (2)回答以下问题： ①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？ 考点 三角函数模型的应用 题点 三角函数在天文、物理学方面的应用 解 (1)周期T＝＝1(s)． 列表： t 0 1 2πt＋ π 2π 2π＋ 6sin 3 6 0 －6 0 3 描点画图： (2)①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm. ③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)． 反思与感悟 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径．21世纪教育网版权所有 跟踪训练1 如图是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是( ) A．该质点的振动周期为0.7 s B．该质点的振幅为－5 cm C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零 考点 三角函数模型的应用 题点 三角函数在天文、物理学方面的应用 答案 D 解析 由图象及简谐运动的有关知识知T＝0.8 s，A＝5 cm，当t＝0.1 s及t＝0.5 s时，v＝0，故排除选项A，B，C.21教育网 类型二 三角函数模型在生活中的应用 例2 如图所示，游乐场中的摩天轮 出卷网匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：21·cn·jy·com (1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？ 考点 三角函数模型的应用 题点 三角函数在日常生活中的应用 解 (1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0， 由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值， 所以6ω＝π，即ω＝， 所以y＝40.5－40cos t(t≥0)． (2)设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米． 由60.5＝40.5－40cos t0，得cos t0＝－， 所以t0＝或t0＝， 解得t0＝4或t0＝8， 所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米， 故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)． 反思与感悟 解决三角函数 出卷网的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执 ... ...
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