中小学教育资源及组卷应用平台 第二讲 任意角的三角函数 二、任意角的三角函数(一) 【学习目标】 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等． 知识点一 任意角的三角函数 使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r. 思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案 sin α＝，cos α＝，tan α＝. 思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？ 答案 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．21·世纪*教育网 思考3 在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 答案 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝. 梳理 (1)单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． (2)定义 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： ①y叫做α的正弦，记作sin_α， 即sin α＝y； ②x叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x； ③叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝ (x≠0)． 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故 出卷网正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．【版权所有：21教育】 知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ 答案 由三角函数定义可知 出卷网，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．当α为第一象限角时，y>0, x>0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．21教育名师原创作品 梳理 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 知识点三 诱导公式一 思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？ 答案 它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等． 梳理 诱导公式一 sinα＋k·2π＝sin α，cosα＋k·2π＝cos α，tanα＋k·2π＝tan α，其中k∈Z. 类型一 三角函数定义的应用 命题角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值 例1 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ. 考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 解 由题意知r＝|OP|＝， 由三角函数定义得cos θ＝＝ . 又∵cos θ＝x，∴＝x. ∵x≠0，∴x＝±1. 当x＝1时，P(1,3)， 此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3. 当x＝－1时，P(－1,3)， 此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3. 反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 在α的终边上任选一点P(x， 出卷网y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．2-1-c-n-j-y (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值． 考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 解 r＝＝5|a|. ①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限， sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－， ∴2sin α＋cos α＝－＝1. ②若a<0，则r＝－5a，角α ... ...
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