2013年全国中考数学压轴题分类解析汇编（100套26专题）专题13：动态几何之三角形存在性问题

2013年全国中考数学压轴题分类解析汇编（100套26专题） 专题13：动态几何之三角形存在性问题 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 一、选择题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 （无） 二、填空题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 （无） 三、解答题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 1. （2013年重庆市A12分）已知，如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD。以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=300，∠AED=900。 （1）求△AED的周长； （2）若△AED以每秒2个长度单位的速度沿DC向右平行移动，得到△A0E0D0，当A0D0与BC重合时停止移动。设移动时间为t秒，△A0E0D0与△BDC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转，在旋转过程中，B的对应点为B1，E的对应点为E1，设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q。是否存在这样的，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由。 【答案】解：（1）在平行四边形ABCD中， BC=6，∴AD= BC=6。 ∵在Rt△AED中，∠EAD=300，∠AED=900，∴DE=3，AE=。 ∴△AED的周长为。 （2）S与t之间的函数关系式为。 （3）存在。分三种情况讨论： ①若BP=BQ，如图，则 ∵∠PBQ=300， ∴∠BQP=∠BPQ=750。 ∴∠E1QC=∠BQP=750。 ∴∠E1CQ=900－750=150。 ∴。 ②若PQ=BQ，如图，则 ∵∠PBQ=300， ∴∠BQP=1200。 ∴∠B1QC=∠BQP=1200。 ∴∠B1CQ=1800－1200－300=300。 ∴。 ③若PQ=BP，如图，则 ∵∠CBE =300， ∴∠PBQ=300。 ∴∠BQP=∠PBQ=300。 ∴∠E1CQ=900－300=600。 ∴。 根据等腰三角形三线合一的性质，此时B、P、Q三点重合。 ∴此时不存在这样的，使△BPQ为等腰三角形。 综上所述，存在这样的，使△BPQ为等腰三角形，或。 【考点】平移和旋转问题，平行四边形的性质，含30度角直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，由实际问题列函数关系式，分类思想的应用。 【分析】（1）根据平行四边形对边相等可得AD= BC=6，在Rt△AED中根据含30度角直角三角形的性质可得DE=3，AE=，从而可求△AED的周长。 （2）如图，当△AED移动到点E0在BC边上时，易得△CD0E0是等边三角形，故在D0C=3，△AED移动的距离DD0=12－3=9，从而由速度为每秒2个长度单位，得△AED移动的时间为。 当A0D0与BC重合时，△AED移动的距离为DC=12，由速度为每秒2个长度单位，得△AED移动的时间为。 ∴当时，。 当时，如图，， 过点D0作在D0H⊥BC于点H，过点N作NG⊥AB于点G，则 DD0=2t，D0C=A0B=BN=，∴。 ∴。 当时，0，满足上式。 综上所述，S与t之间的函数关系式为。 （3）分BP=BQ，PQ=BQ，PQ=BP三种情况讨论即可。 2. （2013年重庆市B12分）已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF。如图1，现有一张硬纸片△GMN，∠NGM=900，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上。如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ。当点N到达终点B时，△GMNP和点同时停止运动。设运动时间为t秒，解答问题： （1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值； （2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式以及自变量t的取值范围。 【答案】解： ... ...