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课件网) 2.1.4 函数的奇偶性 从对称角度思考下列各图有什么特点？ 引入新课 观察以下函数图象，从图象对称的角度把这些函数图象分类. y O x ① O x y ② ③ O x y O x y ④ ⑤ O x y O x y ⑥ 解答：①②④是一类，关于y轴对称； ③⑤⑥是一类，关于原点对称. 思考1、请观察以下各点与点（X，Y）之间有什么对称 关系？ y O -2 f(x)=x2 解答：在表格中我们可以看出：当自变量x取一对相反数时，相应的函数值相同. x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=x2 9 4 1 0 1 4 9 x 9 4 1 -3 3 1 -1 2 P/(-x,f(-x)) P/(-x,f(x)) O x x -x y P(x,f(x)) f(-x)=f(x) 结论： 当自变量x在定义域内任取一对相反数时，相应的两个函数值相同； 即：f(-x)=f(x) 思考2:一般地，若函数y=f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)与f(-x)有什么关系？反之成立吗？ 解答：f(x)=f(-x)，反之也成立。 思考3:我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么怎样定义偶函数？ 设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-x D，且f(-x)=f(x) ，则这个函数叫做偶函数. 思考4：观察下面的函数图象，判断函数是不是偶函数. 思考5：如果一个函数的图象关于y轴对称，那么它的定义域应该有什么特点？ 解答： 定义域应该关于原点对称. O x y 解答：图象关于y轴对称，是偶函数。 说明 1.偶函数指的是函数的整体性质，是对整个定义域而言的. 2.函数是偶函数的前提条件是定义域关于原点对称. 要注意关于原点对称的含义. 3.在前提条件下， 偶函数 f(x)=f(-x) f(x)-f(-x)=0 图象关于y轴对称. 思考6：继续观察下面的3幅函数图象: O x y ② O x y ⑥ ⑤ O x y 根据我们由图象推导偶函数的方法和步骤，同学们结合课本内容归纳一下奇函数的定义. 由此我们可以得到奇函数的定义： 设函数y=f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x, 都有-x D ，且_____,则这个函数叫做奇函数. f(-x)= -f(x) 思考7：如果一个函数的图象关于原点对称，那么它的定义域应该有什么特点？ 解答：定义域也应该关于原点对称！ 想一想 解答：判断或证明函数奇偶性的基本步骤： 思考8：如何根据定义判断下列函数的奇偶性 1、奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，则这个函数为奇函数. 2、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数. 说明：奇偶函数图象的性质可用于： a、简化函数图象的画法. b、判断函数的奇偶性 奇偶函数图象的性质 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象. x y 0 相等 例1、判断下列函数的奇偶性. （3） 解：(1) 因为f(-x)=2x= -f(x) ,所以f(x)是奇函数. 因为 f(-x)=|-x|-2=|x|-2=f(x) ,所以f(x)是偶函数. 因为 是偶函数. （1） （2） 判断奇偶性，只需验证f(x)与f(-x)之间的关系。 （5） （6） （4） 定义域关于原 点对称是函数具有奇偶性的前提条件。 解：（4）当x=2时，由于2 [-3,1],故f(2)不存在，所以就谈不上与f(-2)相等了，由于任意性受破坏。所以它没有奇偶性. （5）函数的定义域为[-2,2),故f(2)不存在，同上可知函数没有奇偶性. （6）因为f（-x）= -2x-1，∴f（ -x ）≠ f（ x ）且f（ -x ）≠ -f（ x ），故函数没有奇偶性. （1）f(x)=x +2x； (2) f(x)=2x +3x ； 3 2 4 (3) f(x)=√x-1 +√1-x ； (4) f(x)= √x2 -1 +√1-x2， (5) f(x)=︱x︱(x +1)； (6) f(x)= √x + . 1 x 2 练习1：判断下列函数的奇偶性. 奇函数 既是奇函数又是偶函数 既是奇函数又是偶函数 既非奇函数又非偶函数 既非奇函数又非偶函数 偶函数 例2、已知函数f(x)既是奇函数又是偶函数。 求证：f(x)=0. 证明：因为 f(x)既是奇函数又是偶函数, ... ...
