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课件网) 3.3 幂函数 1 2 1.幂函数的定义 一般地,我们把形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x为自变量,α为常数. 关于定义的理解: ①幂的底数是自变量; ②幂的指数是一个常数,它可以取任意实数; ③幂值前面的系数是1,否则不是幂函数; ④幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合,因α的不同,定义域也不同. 名师点拨判断函数是否为幂函数时要根据定义,即xα的系数为1,指数位置的α为一个常数,且常数项为0,或者经过变形后满足条件的均可. 1 2 【做一做1-1】 下列函数是幂函数的是( ) 解析:幂函数必须符合y=xα(α为常数)的形式. 答案:D 【做一做1-2】 若函数y=(k2-k+1)x3是幂函数,则实数k的值是( ) A.0 B.1 C.0或1 D.k≠0,且k≠1 解析:由幂函数的定义可知k2-k+1=1,解得k=0或k=1. 答案:C 1 2 1 2 已知幂函数的图象特征或性质求解析式时,常用待定系数法.判断幂函数y=xα的单调性时,通常借助其指数α的符号来分析. 1 2 答案:B 1 2 答案:C 一、详述幂函数的定义和定义域 剖析:(1)幂函数具有严格的形式,形如y=mxα,y=(mx)α,y=xα+m,y=(x+m)α(以上m均为不等于零的常数)的函数都不是幂函数,二次函数中只有y=x2是幂函数,其他的二次函数都不是幂函数,尤其要区分开y=x0与y=1,要知道y=1是函数,但不是幂函数;y=x0是幂函数. (2)不要把幂函数与指数函数混淆,幂函数的底数为自变量,指数为常数,而指数函数恰好相反,底数为常数,指数为自变量. 二、幂函数的图象与性质 剖析:(1)幂函数的图象 幂函数的图象与其他函数相比,在理解和记忆上都比较困难.主要因为幂函数图象的位置和形状变化复杂,只要指数稍有不同,图象的位置和形状就可能发生很大的变化,所以有必要对幂函数的图象分布进行一番考查. 考查或作幂函数图象须考虑以下几个方面: ①定义域:有x∈R,x≠0,x≥0,x>0四种情况. ②奇偶性. ③单调性:侧重点在第一象限.当指数α>0时,尤其要注意以(0,0)和(1,1)两点为对角顶点的正方形内部的情况. ④曲线类型:分直线型、抛物线型、双曲线型和拐线型等情况. (2)幂函数的性质 ①所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1); ②若α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数; ③若α<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,在第一象限内,当x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴;当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴. 三、教材中的“思考与讨论” (1)在幂函数y=xα中,如果α是正偶数(α=2n,n为非零自然数),如α=2,4,6,…,这一类函数具有哪些重要性质 (2)在幂函数y=xα中,如果α是正奇数(α=2n-1,n为非零自然数),如α=1,3,5,…,这一类函数具有哪些重要性质 (3)幂函数y=xα,x∈[0,+∞),α>1与0<α<1的图象有何不同 剖析:(1)重要性质:①定义域为R,图象都经过(-1,1),(0,0),(1,1)三点;②函数的图象关于y轴对称,即函数为偶函数;③函数在(-∞,0]上为减函数,在[0,+∞)上为增函数. (2)重要性质:①定义域、值域为R,图象都经过(-1,-1),(0,0),(1,1)三点;②函数的图象关于原点对称,即函数为奇函数;③函数在R上单调递增. (3)两者图象的区别和联系:无论α>1还是0<α<1,函数y=xα在[0,+∞)上的图象都是单调递增的,但在[0,1]上前者比后者增长得慢,在(1,+∞)上前者比后者增长得快. 题型一 题型二 题型三 题型四 答案:(1)①⑤ (2)2 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 题型二 题型三 题型四 【例2】 幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限内的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是( ) A.b
1时,幂指数大的函数的函数值较大,故有b>c>d>a. 方法 ... ... 
