2022-2023学年高一上学期物理暑假初高衔接讲义：第9讲 匀变速直线运动中的追及相遇问题（含答案）

第9讲 匀变速直线运动中的追及相遇问题 【知识点】 讨论追及相遇的问题，实质就是分析讨论两物体能否同时到达同一位置的问题。 分析要点： 1．两个关系：时间关系和位移关系。 可通过画草图找出两物体的位移关系，也是解题的突破口。 2．一个条件：两者速度相等。 两者速度相等，往往是物体间能否追上，或两者距离最大、最小的临界条件，是分析判断的切入点。 一、追及、相遇问题 1、甲：初速度小的匀加速运动 乙：速度大的匀速运动 甲一定能追上乙，v甲=v乙时，甲、乙距离最大。 2、甲：速度大的匀速运动 乙：速度小的匀加速运动 （1）开始时，v甲＞v乙，甲乙间距越来越小。 （2）当v甲=v乙，甲乙间距达到最小值。 （3）在v甲＜v乙时，甲乙间距越来越大。 判断v甲=v乙时，甲乙的位置情况： （1）若此时甲在乙后面，则甲追不上乙，此时刻是相距最近的时候。 （2）若甲、乙在同一处，则甲恰能追上乙。 （3）若甲在乙前，则追上，并相遇两次。 3．甲：初速度大的匀减速运动 乙：速度小的匀速运动 判断v甲=v乙的时刻甲乙的位置情况： （1）若甲在乙后面，则甲追不上乙，此时刻是相距最近的时候。 （2）若甲、乙在同一处，则甲恰能追上乙。 （3）若甲在乙前，则追上，并相遇两次。 4、分析追及、相遇问题的几种方法 （1） 物理分析法：应用运动学公式，根据每个物体的运动情况，分别确定出各物体间的位移、时间和速度关系，并列出方程，进行求解. 寻找问题中隐含的临界条件，对临界状态分析求解。例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离；速度大者减速追赶速度小者，恰好能相遇意味着两者速度相等时相遇。 （2）极值法（函数法）：设相遇问题为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次，若Δ＝0，说明刚好追上或相碰；若Δ＜0，说明追不上或不能相遇。 （3）图像法：将两者的v－t图象在同一个坐标系中画出，然后利用图象求解。 ①用位移图像求解，如果两个物体的位移图像相交，则说明两者相遇。 ②用速度图像求解，则比较速度图线与时间轴包围的面积分析两者是否相遇。 （4）相对运动法 以其中一个物体为参考系，确定另一个物体的相对初速度和相对加速度，就把研究两个物体的运动问题，转化为研究一个物体的运动问题。 注意：若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。 例1、一辆汽车在十字路口等绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始行驶，此时一辆自行车以6m/s的速度匀速从后边驶来恰好经过汽车，求： （1）汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ （2）什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？ 分析：汽车开动后速度由零逐渐增大，而自行车的速度是定值、只要汽车的速度小于自行车速度，两者的距离将越来越大，而一旦汽车的速度增加到超过自行车速度时，两车距离就将缩小，因此两车速度相等时它们之间的距离最大。 法一：物理分析法（临界分析） 解：（1）二者速度相等时距离最大， 由v汽= at = v自 ，得：t = == 2s 最远距离x =x自－x汽= v自t at2=6×2－×3×22 m=6 m 法二：极值法（函数法） 解：（1）此问可以用数学求极值的方法。设汽车在追上自行车之前t秒两车相距最远 由于x=x自 – x汽 = v自t – at2 代入数据得 x =6t - 1.5t2 = - 1.5t2 +6t 由二次函数求极值条件知 t = - = =2 (s)时 ，x最大 且 xm= 6t - 1.5t2 =6×2 - 1.5×22 = 6 (m) 法三：图像法 解：（1） （2）汽车追上自行车时，二者位移相等，则：v自t' = at'2 即：6t' =×3×t'2 汽车追上自行车的时间t ... ...